Локальні екстремуми функцій двох змінних.Дослідження функцій двох змінних на екстремум

Частинні похідні 1-го порядку функції кількох змінних.Необхідна і достатня умова диференційованості функції двох змінних.

Крім повного приросту ФДЗ

,

існують частинні прирости:

,

.

Означення. Якщо існує границя відношення частинного приросту ФДЗ до приросту відповідного аргументу, коли останній прямує до нуля, то його називають частинноюпохідною й позначають:

,

.

Зауваження. Частинну похідну обчислюють як похідну функції однієї змінної за умови, що y зафіксовано, аналогічно для ­- x зафіксовано.

Локальні екстремуми функцій двох змінних.Дослідження функцій двох змінних на екстремум.

Локальні екстремуми функції двох змінних

Нехай функція z = f(х, у) визначена в області D, а точка D. Якщо існує окіл точки , який належить області D і для всіх відмінних від точок М цього околу виконується нерівність f (М)< f ()(f (М) > f ()), то точку називають точкою ло­кального максимуму (мінімуму) функції , а число – ло­кальним максимумом (мінімумом) цієї функції.

Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму.

Необхідна ознака існування екстремуму

Якщо функція набуває у точці свого екстремального значення, то в точці або дорівнюють нулю, або нескінченності, або не існують.

Доведення

Крива - лінія перетину поверхні й площини , тоді задана рівнянням Аналогічно доводиться, що й ін. випадки.

Достатня ознака існування екстремуму

Теорема. Нехай у функція має неперервні частинні похідні до 3-го порядку включно і точка є стаціонарною, тоді:

1) при є екстремум, якщо , то в точці , якщо ,то в точці ;

2) при - екстремуму немає;

3) при - потрібні додаткові дослідження.

Тут