Отношение эквивалентности

def. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности на А, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно (на А).

Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~ или ≡.

Пример 13. 1) Отношение равенства на любом множестве чисел.

2) Отношение параллельности на множестве прямых на плоскости.

3) Отношение подобия на множестве треугольников данной плоскости.

Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и .

def. Классом эквивалентности, порождённым элементом , называется множество .

То есть класс эквивалентности, порожденный элементом есть множество всех таких , что . Класс эквивалентности, порождённого элемента , обозначается через / R. Совокупность всех классов эквивалентности отношения R на множестве А обозначается через А/R.

def. Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса.

Пусть А - непустое множество.

def. Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности R называется множество A/R всех классов эквивалентности.

def. Разбиением множества А называется такое семейство его непустых подмножеств, объединение которых совпадений с множеством А, а пересечение любых двух различных из них пусто.

Теорема 2 (прямая теорема). Пусть R – отношение эквивалентности на (непустом) множестве А. Тогда фактор – множество A/R является разбиением множества А.