Доказательство

Замечание 3. Частный случай отношения эквивалентности – отношение равенства определяет разбиение множеств на одноэлементные классы эквивалентности

, то есть классов оказывается столько же, сколько элементов содержится в множестве А (каждый элемент из А эквивалентен только самому себе). Другой крайний случай заключается в том, что все элементы А объявляются эквивалентными друг другу, при этом разбиение множества А состоит всего из одного класса – самого множества А. В любом другом случае среди классов разбиения имеется хотя бы один класс, который содержит больше одного элемента и в то же время не совпадает с самим множеством А.

Замечание 4. В чём важность такого разбиения множества на классы? Дело в том, что в каждом классе эквивалентности оказываются эквивалентные элементы, то есть элементы, неразличимы с точки зрения некоторого отношения. Например, равные отрезки или подобные треугольники. Поэтому считают, что класс эквивалентности (множество) определяется любым своим представителем, то есть произвольным элементом этого класса. Так, класс равных отрезков можно задать, указав любой отрезок, принадлежащий этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, определяется разбиением этого множества на классы треугольников, четырёхугольников, пятиугольников и так далее. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.