Вектор положения

Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.

Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.

При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами .

Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.

Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.

Если положение материальной точки М относительно тела отсчёта в точке О обозначить , относительно другого тела отсчёта в точке О' обозначить , а геометрический вектор, соединяющий точки О и О', обозначить , то наблюдатель в точке О будет видеть три геометрических вектора: , и .

Пусть другому наблюдателю в точке О' нет дела ни до чего, кроме материальной точки М. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О' видит только один вектор . Как соотносится геометрический вектор , видимый в пространстве О' с геометрическим вектором , видимым в пространстве О? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. . Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:

И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:

.

В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:

В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве - «относительной», а та, через которую они связаны, - переносной. Значит

· -«абсолютный» радиус-вектор;

· -«относительный» радиус-вектор;

· - переносный радиус-вектор.

Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.