Углы Эйлера. Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис. 4.7):
1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение ( в ). Этот поворот описывается тензором .
Рис. 4.7. Углы Эйлера |
Рис. 4.8. Углы Эйлера (волчок) |
2. Поворот вокруг на угол нутации . При этом , . Этот поворот описывается тензором .
3. Поворот вокруг на угол собственного вращения – тензор .
Таким образом, результирующий тензор поворота равен
. (4.18)
Для наглядности на рис. 4.8 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.
Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.18) может быть заменена последовательностью поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:
1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения .
2. Поворот вокруг на угол нутации .
3. Поворот вокруг на угол прецессии .
Поскольку , ,то по теореме (4.12)
|
|
,
.
Подставляя эти выражения в (4.18), получим с учетом
. (4.19)
Разумеется, преимущество (4.19) по сравнению с (4.18) в том, что оси поворотов неподвижны.
Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.16) .
Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.18), применяя правдоподобные рассуждения о сложении «бесконечно малых» поворотов; применив их к другой последовательности поворотов, например (4.19), получим абсолютно неверный результат: .
Из (4.19) видно, что при малом угле нутации , когда , тензор поворота . Видим, что углы и в линейном приближении становятся неразличимыми и входят в уравнения в виде суммы (. В этом неудобство углов Эйлера.
Самолетные (корабельные) углы (рис. 4.9). Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить тремя поворотами (повернуть самостоятельно!):
1. Поворот вокруг на угол рысканья , при этом .
2. Поворот вокруг на угол тангажа , при этом .
Рис. 4.9. Самолетные углы |
φ |
θ |
ψ |
3. Поворот на угол крена вокруг .
Тензор поворота равен:
.(4.20)
Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей.
Применяя теорему о тензоре поворота с повернутой осью (4.12) из того, что , , получим:
.
Таким образом, получили следующую композицию поворотов вокруг неподвижных осей:
1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья),
2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа»),
3. Поворот вокруг на угол рысканья .
Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид:
; (4.21)
.
Трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе ( рис. 4.10).Карданов подвес имеет три физических оси поворота, поэтому нетрудно догадаться, как тремя поворотами вокруг неподвижных осей перевести ротор гироскопа из отсчетного положения в актуальное. Разумеется, последовательность поворотов может быть любой, но, как мы убедились, повороты вокруг неподвижных осей самые удобные. Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид:
|
|
; (4.22)
.
ротор |
Рис. 4.10. Трехстепенной гироскоп |
Физические оси позволяют правильно найти угловую скорость как сумму угловых скоростей вращений вокруг этих осей в актуальном положении.
Движение конуса по конусу (рис. 4.11). Ориентация подвижного конуса (шестерни) задается двумя углами – углом поворота вокруг неподвижной оси (вектора ) и углом вращения вокруг собственной оси, актуальное положение которой задается вектором .
Рис. 4.11. Качение конуса (шестерни) |
D |
K |
A |
z |
x X |
y |
φ |
Тензор поворота – повороты производятся вокруг неподвижных осей. Вектор угловой скорости
. (4.23)
Если нет проскальзывания, то длина дуги окружности основания неподвижного конуса равна длине соответствующей дуги подвижного:
, откуда и .
Векторное произведение угловой скорости на вектор касающихся образующих конусов равно нулю: , следовательно, параллелен .
Впрочем, геометрическому подходу следует предпочесть кинематический. Так, если вращается и нижняя шестерня (конус), то для нахождения угловой скорости проще исходить из равенства скоростей в точке контакта К:
.
Проецируя эту формулу на ось , получим откуда . Дифференцируя угловую скорость (4.23), получим угловое ускорение: и, с учетом ,
.