2015-08-13
353
Пусть задана зависимость двух переменных 
и 
от параметра 
, изменяющегося в пределах от 
до 
:
Пусть функция 
имеет обратную: 
. Тогда мы можем, взяв композицию функций 
и 
, получить зависимость от : 
. Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде 
, называется функцией 
, заданной параметрически.
Производную функции 
, заданной параметрически, можно выразить через производные функций 
и 
: поскольку и, по формуле производной обратной функции, 
, то
где -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .
Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между 
и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: 
, 
; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.
Пример 4.22 Пусть зависимость между и задана параметрически следующими формулами:
Найдём уравнение касательной к графику зависимости в точке 
.
Значения 
и 
получаются, если взять 
. Найдём производные и по параметру :
Поэтому
При получаем значение производной
это значение задаёт угловой коэффициент 
искомой касательной. Координаты 
и 
точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:
Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости , , мы можем отыскать вторую производную функции по переменной :
Пример 4.23 Пусть дана та же зависимость между и , что в предыдущем примере:
Найдём выражение для второй производной 
через параметр . Ранее мы получили, что 
. Поэтому 
; производную 
мы нашли выше. Получаем:
Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить 
в формулу 
; при этом получим:
|
