IX. Линейные пространства

9.1. Матрицей перехода от базиса к базису , где является…

…

9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…

…невырожденной.

9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …

… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.

9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …

…образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.

9.5. Вектор …

… невозможно представить в виде линейной комбинации векторов и .

9.6. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

…образуют линейное пространство размерности 1.

9.7. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

…не образуют линейного пространства.

9.8. Матрицы вида , где числа , , и удовлетворяют условиям , , а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

…образуют линейное пространство размерности 2.

9.9. Векторы , , …

… являются линейно-зависимыми.

9.10. Разложение вектора по базису , , имеет вид , где…

… .

9.11. Функции , , будут линейно зависимыми при…

… .

9.12. Функции , , будут линейно-независимыми при…

…любом значении .

9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…

… вектор .

9.14. Векторы , и

…являются линейно-независимыми.

9.15. Проверьте, что множество функций вида (квадратные трехчлены) таких, что , образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…

… , .

9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…

… векторы , , .

9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор в вектор , записанная в стандартном базисе , , , имеет вид…

… .

9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе имеет вид…

… .

9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…

…вырожденной.

9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Матрица этого оператора, записанная в базисе , , имеет вид…

… .

9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости , записанная в базисе , , , имеет вид…

… .

9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе , , , имеет вид…

… .

9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе , , имеет вид . Этот оператор является…

…оператором симметрии относительно оси .

9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

…является линейным пространством размерности 4.

9.25. Линейной комбинацией векторов и является вектор…

… .

9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Тогда вектор переходит в вектор…

… .

9.27. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Тогда вектор переходит в вектор…

… .

9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …

…равна 6.