Построение матрицы по заданной формуле отображения.
Пусть отображение задано с помощью формулы:
то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.
Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:
.
Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.
Отобразим сумму векторов:
Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:
.
Аналогично для умножения на константу:
Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1 = 1, x2 = 0, а затем x1 = 0, x2 = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).
Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:
.
Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.
Пример 2. .
Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).
Матрица линейного оператора:
.
2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.
Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.
Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.
Пусть - матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы - это векторы , а столбцы матрицы - векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .
Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис
в систему векторов .
Здесь , , , и получаем:
.
Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .
Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.
2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.
Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.
Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.
.
Аналогично, ,
.
Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.
Матрица оператора: .
Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :
.
Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .
, , , аналогично получим ,…, .
Матрица этого линейного оператора:
Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.