Операционные зависимости

Основные результаты операционного анализа формулируются в виде соотношений между операционными переменными. Основой этих соотношений является гипотеза о балансе потоков в сети: коли­чество требований, которые поступили в некоторый узел на протяжении продолжительного периода Т, равняется количест­ву требований, которые покинули этот узел. Эта гипотеза опреде­ляет работу сети СМО в установившемся режиме, то есть требования всегда покидают узлы сети.

Гипотеза о балансе позволяет установить зависимости между операционными переменными для каждого узла сети. Эта гипотеза позволяет записать уравнения баланса потоков:

(2.7)

Справедливость выражения (2.7) вытекает из предположения о балансе потоков в сети, то есть , так как но при условии, что , находим Поделив последнее соотношение (левую и праву его части) на общее время наблюде­ния Т, получим выражение (2.7). Уравнения (2.7) будут иметь единст­венное решение для замкнутой сети при заданном . Для разомкну­той сети уравнения (2.7) будут линейно зависимыми, однако, и в этом случае они имеют полезную информацию о динамике потоков сети.

Найдем из выражения (2.6) производительность узла

(2.8)

Определим коэффициент посещаемости узла k

(2.9)

Уравнение баланса потока можно представить в эквивалентной системе, в которой вместо интенсивности потоков используются ко­эффициенты посещаемости каждого узла сети.

Поделим левую и правую части выражения (2.7) на :

(2.10)

Выражения (2.10) справедливы, если справедливы уравне­ния (2.7), поскольку (2.10) получены из (2.7).

Связь коэффициентов посещаемости и производительности узла определяем по формуле

(2.11)

Для определения среднего времени пребывания требования в вероятностной сети обозначим это время через R, а для отдельных узлов - через . Введем еще одну операционную переменную - , которая равняется суммарному времени ожидания и времени обслуживания требования узлом k на протяжении времени Т:

(2.12)

Среднее время пребывания в системе можно найти через и коэффициенты посещаемости отдельных узлов, то есть

(2.13)

Это общий закон времени пребывания, который справедлив и в том случае, если гипотеза о балансе потоков не выполняется.

Среднее количество требований в сети N, которое определяется через среднее количество требований в каждом узле , равно

(2.14)

где - выводимая операционная переменная, которую можно полу­чить из основных операционных переменных:

(2.15)

Для среднего времени пребывания требований в сети справед­лив закон Литтла: среднее время пребывания в устройстве к опре­деляется через среднее количество требований в устройстве и интен­сивность потока

(2.16)

Обосновать формулу Литтла можно с помощью операционного анализа. Из выражения (2.15) находим:

(2.17)

Подставляем полученную операционную переменную в уравне­ние (2.12):

(2.18)

Закон Литтла справедлив также для всей сети в целом. Подста­вим выражение для из уравнения (2.9) в (2.13) и выражение для из (2.16), тогда

Покажем, как можно использовать операционный анализ для опоеделения времени пребывания в замкнутой сети (рис. 2.6).

Пусть есть М устройств, время обслуживания требования лю­бым из них - Z. Среднее время пребывания требования в сети опре­деляем по формуле

(2.20)

Выражение (2.20) получено из таких соображений. Среднее время одного цикла взаимодействия, включая время обслуживания требования во внешней сети и пребывание в одном из М устройств, определяется суммой Z + R. Если предположить, что выполняется ги­потеза о балансе потоков, то для рассматриваемого цикла справедли­ва формула Литтла. Поэтому величина должна определять среднее количество занятых устройств или среднее количество рабо­тающих устройств для системы с отказами. Таким образом, общее количество устройств

(2.21)

Продемонстрируем использование приведенных соотношений операционного анализа на примерах.

Пример 2.1. Пусть имеем М= 20 устройств. Среднее время об­служивания каждым Z = 25 с (рис. 2.7).

Для узлов сети частоты перехода к узлу равняются соответственно: а коэффициенты посещаемо­сти этих узлов равняются

Узел t используется на 50%, среднее время обслуживания узлом t поступающих требова ний составляет 25 мс. Необходимо найти среднее время пребывания и среднее количество требований в сети.

Определим коэффициент посещаемости узла t, используя урав нения баланса потоков (2.10), записанные через коэффициенты посе щаемости узлов:

Находим интенсивность поступления требований в сеть

(2.22)

В выражение (2.22) входят известные из условий операционные переменные: = 50% и = 0,025 с. Следовательно получим

требований/с.

Из выражения (2.19) находим время пребывания требования в сети

Для определения среднего количества требований в сети вос­пользуемся формулой Литтла:

требований.

Пример 2.2. Рассмотрим сеть, в которую поступают треоования как из обслуживающих устройств (замкнутая часть сети), так и извне (рис. 2.8).

Есть М =40 обслуживающих устройств. Среднее время обслу­живания каждым Z = 15 с. В результате проведенных исследований получены такие данные о сети:

- среднее время пребывания требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в сеть, равняется 5 с;

- среднее время обслуживания любого требования узлом t состав­ляет 40 мс;

- каждое требование, которое поступает от М устройств обслуживания, порождает 10 требований к узлу t;

- каждое требование, которое поступает в систему извне, порож­дает 5 требований к узлу t;

- узел t используется на 90%.

Hужно определить нижнюю границу времени пребывания в сети требований, которые поступают от М устройств обслуживания с ин­тенсивностью входящего потока Х₀ и от внешнего источника требо­ваний в сеть с интенсивностью X_t, что выходят из узла t.

При решении поставленной задачи переменные, которые касаются поступающих от М устройств обслуживания требований, будем обозначать звездочкой.

Из выражения (2.20) для потока требований от М устройств на­ходим

(2.23)

где Z - среднее время обслуживания М устройствами; R^* - среднее время пребывания требований, которые поступили от 40 устройств обслуживания в сеть. Тогда

требования/с

Интенсивность потока требований в узел t определяем как сумму

(2.24)

интенсивности потоков требований от устройств обслуживания и ин­тенсивности потока внешних требований, то есть . Тогда в со­ответствии с выражением (2.3.1) можно записать:

требований/с.

Используя формулу для коэффициента посещаемости (2.8), на­ходим :

;

требований/с, отсюда

требований/с.

Теперь можно найти интенсивность входящего потока внеш­них требований в сеть

требований/с.

Допустим, что исходные условия изменились и интенсивность входящего потока внешних требований увеличилась втрое, то есть = 1,5 требований/с. Тогда требований/с. Считая, что среднее время обработки требований узлом t не изменилось, получа­ем, что максимально возможная интенсивность обслуживания требо-

ний узлом t, составляет требований/с при 100% использовании узла t. Таким образом, интенсивность обслуживания требований узлом t от устройств обслуживания не может превышать

25 - 7,5 = 17,5 требований/с.

Исходя из этого,

требований/с.

Итак, нижняя граница времени пребывания в сети требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в соответствии с выражением (2.19)

Таким образом, увеличение в три раза интенсивности потока внешних требований приведет к увеличению среднего времени пре­бывания требований в сети от 40 устройств обслуживания на 2,9 с.