Многоканальные системы массового обслуживания

Многоканальная СМО (с несколькими одинаковыми устройст­вами обслуживания) изображена на рис. 1.5. В отличие от однока­нальных СМО многоканальные системы рассчитать сложнее. Теория массового обслуживания позволяет получать аналитические зависи­мости для расчетов характеристик работы многоканальных СМО в стационарном режиме работы, однако, эти зависимости можно полу­чить только для системы М/М/m.

Если система имеет т одинаковых устройств, то

(1.5)

Для многоканальных СМО можно трактовать, как математи­ческое ожидание части занятых устройств.

Рассмотрим диаграмму работы многоканальной СМО (рис. 1.6) с двумя устройствами (ПР 1 и ПР 2) и двумя позициями для ожидания в очереди (Поз. 1 и Поз. 2). Время поступления и время, когда требо­вание покинуло систему, показаны рядом с номером требования в нижней и верхней частях рис. 1.6, соответственно. Время наблюдения за СМО () составляет 55 мин.

Рассчитаем по диаграмме некоторые оценки характеристик ра­боты СМО.

1. Вероятность обслуживания требования

где , N - количество обслуженных требований и общее количество требований, соответственно.

2. Пропускная способность СМО в требованиях в минуту

где - время наблюдения за системой.

3. Вероятность отказа в обслуживании

где - количество требований, которым отказано в обслуживании.

4. Вероятность того, что требование застанет оба устройства свободными,

где - время, на протяжении которого оба устройства были свобод­ными.

5. Вероятность того, что обслуживанием занято только одно уст­ройство из двух,

где , - время, когда было занято только первое и только второе устройство, соответственно.

6. Вероятность того, что обслуживанием заняты оба устройства,

где - время, когда были занятые оба устройства.

7. Среднее количество занятых устройств

8. Вероятность того, что в очереди нет требований,

где - время, на протяжении которого в очереди не было требований.

9. Вероятность того, что в очереди есть только одно требование,

где - время, когда в очереди было только одно требование.

10. Вероятность того, что в очереди два требования,

где - время, на протяжении которого в очереди было два требования.

11. Среднее количество требований в очереди

12. Среднее время пребывания в очереди

где - время пребывания i -го требования в очереди (i = 1,2,...).

13. Среднее время пребывания в очереди без учета требований, которые не ждали,

где - количество требований, которые не ждали в очереди.

14. Среднее время обслуживания требования в устройствах

где - время обслуживания i -го требования в СМО (i = 1,2,...).

15. Общее среднее время пребывания требования в СМО

16. Среднее количество требований в системе обслуживания

На рис. 1.7 изображена гистограмма для времени поступления требований в СМО и аппроксимация ее экспоненциальным законом распределения. Из гистограммы видно, что количество требований, которое поступило в систему, недостаточно для статистической оценки. Поэтому гипотезу про экспоненциальный закон распределе­ния поступления требований в СМО необходимо отклонить.

Рассчитанные числовые значения характеристик имеют иллюст­ративный характер и позволяют определиться, каким образом необ­ходимо собирать статистические данные о работе СМО при ее моде­лировании.

Приведем основные формулы для расчетов СМО вида М/М/m [7].

1. Вероятность того, что все устройства обслуживания свободны,

(1.14)

2. Вероятность того, что занято обслуживанием k -е устройство или в системе находится k требований,

(1.15)

3. Вероятность того, что все устройства заняты (k > m). Обо­значим эту вероятность через :

(1.16)

4. Вероятность того, что все устройства заняты обслуживанием и s требований находятся в очереди,

(1.17)

5. Вероятность того, что время пребывания требований в очере­ди превышает некоторую величину t,

(1.18)

6. Средняя длина очереди

(1.19)

7. Среднее количество свободных от обслуживания устройств

(1.20)

8. Среднее количество занятых обслуживанием устройств

(1.21)

9. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе

(1.22)

Приведенные формулы позволяют выполнять расчеты для СМО вида М/М/m и сравнивать их с полученными результатами имитаци­онного моделирования.