Анализ узких мест в сети

Поиск узких мест в сети является важным аспектом анализа ее работы. Узкое место создается тем узлом сети, у которого коэффици­ент загрузки U приближается к единице. В этом узле образуется большая очередь, которая при U > 1 становится бесконечной, и сеть переходит в неустойчивый режим работы. Такой узел становится «насыщенным» требованиями. Узкие места в сети обусловливают ее пропускную способность, то есть полностью определяют время пре­бывания в сети. Поэтому при анализе работы сети необходимо особое внимание уделять поиску узких мест.

Покажем на простом примере, почему узкое место определяет пропускную способность сети. Рассмотрим трубопровод, в котором есть трубы разного диаметра, доставляющие воду потребителю. Если после трубы маленького диаметра поставить трубу с любым большим диаметром, то потребитель не получит большего количества воды за единицу времени, чем ее может пропустить узкая труба. Это - так называемый эффект «узкого горлышка». Поэтому при рассмотрении таких систем важно иметь сбалансированные потоки в сети, то есть такой баланс потоков в узлах, при котором среднее время пребывания в сети было бы минимально или ее пропускная способность макси­мальна.

Приведем соотношения, которые связывают коэффициенты ис­пользования узлов с коэффициентами посещаемости этих узлов:

(2.25)

Устройство k будет «насыщено» требованиями, если его коэф­фициент использования близок к единице. В этом случае при выпол­нении гипотезы о балансе потоков интенсивности входящего потока и обслуживания будут практически совпадать, то есть

(2.26)

При увеличении числа требований, одновременно обслуживаю­щихся в сети, первым достигнет насыщения тот узел d, который бу­дет иметь максимальную величину то есть

(2.27)

При увеличении количества требований коэффициент использования приближается к 1 и . Поскольку , то

Таким образом, исходный поток из сети при большом числе N полностью определяется узлом d, который является узким местом.

Определим минимальное среднее время пребывания требования , если в сети есть лишь одно требование, через коэффициенты по­сещаемости отдельных устройств и время обслуживания устройства

(2.28)

На рис. 2.9 изображен график зависимости интенсивности пото­ка в сети от количества требований в сети. При увеличении N интен­сивность монотонно возрастает до предельной асимптоты , то есть пока на эту интенсивность не начнет влиять потенциально узкое место - узел d. На рис. 2.9 через N^* обозначено число требований, при котором узкое место еще не влияет на пропускную способность сети.

Для простейшей замкнутой сети, если количество устройств . При увеличении М поток из сети будет возрастать, но не больше, чем . Таким образом,

(2.29)

Итак, при увеличении М среднее время пребывания имеет асимптоту . На рис. 2.10 показана зависимость среднего времени пребывания в замкнутой сети от числа устройств М. Асим­птота, которая создает узкое место в сети, пересекает ось абсцисс в точке

Изложенный подход к поиску узких мест в сети просто исполь­зовать на практике. Покажем это на примерах.

Пример 2.3. Проведем расчет характеристик сети, которая изо­бражена на рис. 2.11, там же приведены значения операционных пе­ременных .

Запишем уравнения баланса потоков для коэффициентов посе­щаемости этой сети:

Решая приведенную систему уравнений, получаем

Определяем значения для каждого из узлов сети:

Таким образом, минимальное среднее время пребывания одного требования составляет:

Поскольку , то потенциальным узким местом в сети является первый узел.

Основываясь на рассматриваемом методе операционного анали­за, дадим ответ на некоторые вопросы.

1. Пусть измерениями определено, что требований/с, а cреднее время пребывания требования в сети составляет 5,2 с. Какое среднее количество устройств обслуживания взаимодействует с се­тью за все время наблюдения?

В соответствии с формулой (2.13) имеем:

устройств.

2. Можно ли обеспечить среднее время пребывания требований в сети равным 8 с при 30 устройствах обслуживания? Какое макси­мальное среднее время обслуживания требования должен иметь узел 1, чтобы это стало возможным?

В соответствии с формулой (2.13) имеем:

Таким образом, при взаимодействии с сетью 30 устройств, сред­нее время пребывания требования в ней превысит 10 с.

Обозначим через S₁^* допустимое среднее время обслуживания требования. Тогда можно записать

то есть максимально возможное среднее время обслуживания требо­вания узлом 1 составляет 0,047 с. На рис. 2.12 изображены графики Для асимптоты среднего времени обслуживания требования.

Пример 2.4. Допустим, что в сеть, кроме требований от уст­ройств обслуживания, поступают еще и требования от узла 3, как по­казано на рис. 2.13.

На рис. 2.13 параметры со штрихом характеризуют требования узла 3. Измерения в данной сети показали, что узел 3 загружен прак­тически полностью, а время ответа системы равняется 7 с. Как в этих условиях загружен узел 1 и какое значение приобретает ?

Из рис. 2.13 видно, что . Тогда

Таким образом, потенциально узким местом для требований уз­ла 3 есть сам узел 3.

требований/с.

Поскольку , то = 7,392 требований/с, =18,48 требований/с.

Загрузка узла 3, создаваемая требованиями от устройств обслу­живания, составляет

.

Вторая загрузка узла 3 создается требованиями, которые посту­пают от этого узла ( = 0,704).

Поскольку требования от узла 3 циркулируют в замкнутом кон­туре, то при условии замкнутости сети имеем

требований/с.

Определим коэффициент использования узла 1

Таким образом, узел 1 также используется практически полно­стью.

Операционный анализ вероятностных сетей СМО и приведенные примеры расчетов таких сетей показывают, как, не прибегая к модели­рованию, можно получить некоторые расчетные характеристики на уровне средних значений. В технологии имитационного моделирования операционный анализ может быть использован для сравнения результа­тов моделирования с расчетными значениями при проверке правильно­сти (валидации) имитационной модели и при поиске наилучших реше­ний по результатам моделирования (см. главу 11).