Одной из наиболее опасных оказывается так называемая желобковая (flute-like в зарубежной литературе) неустойчивость. Её ещё называют перестановочной или конвективной неустойчивостью. Эта неустойчивость весьма опасна, т.к. она практически не возмущает магнитного поля.
Рассмотрим эту неустойчивость в пробкотроне.
Рис. 4. Желобковое возмущение
Пусть трубка плазмы, вытянутая вдоль силовых линий, всплывает из более горячей и плотной области в менее плотную и более холодную. Сечение магнитных поверностей пробкотрона, перпендикулярное оси, показано на рис. 4. Это приводит к изгибанию линий постоянной плотности. Пусть магнитное поле направлено за плоскость чертежа. Если сечение проходит через середину пробкотрона, в этом сечении магнитное поле спадает к периферии. При этом положительно заряженные частицы дрейфуют в направлении вектора [ H, H ], то есть против часовой стрелки, а отрицательно заряженные – в противоположном направлении. В той области, где трубка «всплыла», на её краях выступят нескомпенсированные заряды и возникнет электрическое поле в полоидальном направлении. Под действием этого поля как положительно, так и отрицательно заряженные частицы будут испытывать ExВ-дрейф, приводящий к дальнейшему «всплыванию» частиц. Но частицы движутся также и вдоль силовых линий от пробки к пробке, попадая в те области вблизи пробок, где магнитное поле возрастает к периферии. В этих областях они будут дрейфовать к оси пробкотрона. В пробкотроне частицы плохо проникают в область пробок. В результате частицы в среднем будут смещаться наружу, то есть плазма будет неустойчива.
|
|
Рис. 5. Антипробкотрон
В антипробкотроне (см. рис. 5), когда поля от двух кольцевых токов направлены навстречу друг другу, магнитное поле всюду будет спадать по радиусу, и плазма будет устойчива. Но в экваториальном сечении в магнитном поле будет существовать круговая щель, через которую частицы будут быстро уходить из ловушки вдоль поля. Такая система для удержания плазмы непригодна.
Мы качественно рассмотрели желобковую неустойчивостью. Перейдем теперь к её количественному описанию.
Пусть силовая трубка, вытянутая вдоль силовых линий, «всплыла» из положения 1а–1б в положение 2а–2б (рис. 6), причём время «всплытия» много больше, чем время пролёта частиц между пробками.
Рис. 6. Всплытие трубки в пробкотроне
Тогда при «всплытии» сохраняется продольный адиабатический инвариант . Выражая параллельную составляющую импульса через магнитный момент и полный импульс , получаем следующее выражение для адиабатического инварианта:
. (3.1.1)
Интегрирование здесь ведется между точками отражения. При смещении трубки из положения 1 в положение 2 меняются магнитное поле и точки отражения. При этом адиабатический инвариант не меняется:
|
|
. (3.1.2)
Найдем среднее за период изменение энергии частицы:
, (3.1.3)
а также вариацию магнитного поля . В установках типа токамак или стелларатор параметр , равный отношению плазменного давления к магнитному, мал, и возмущение магнитного поля можно считать практически вакуумным, то есть для него можно положить rot H = 0. Вычислим циркуляцию вектора Н по замкнутому контуру 1а–1б–2б–2а–1а, показанному на рис. 6. Будем считать контур узким, то есть интегралами на участках 1б–2б и 2а–1а можно пренебречь. Длина участка 1а–1б равна dl, магнитное поле на этом участке равно H. Длина участка 2а–2б равна , а магнитное поле, соответственно, равно . Таким образом, из условия обращения в ноль циркуляции магнитного поля получаем
. (3.1.4)
Если потенциальная энергия при отклонении от равновесия растёт, то система устойчива. Потенциальная энергия плазмы в трубке – это сумма энергий всех частиц в этой трубке. Вероятность пребывания частицы на отрезке силовой линии dl равна отношению времени пребывания на этом отрезке к времени пребывания между пробкам
Подставляя (3.1.4) в (3.1.3) и учитывая, что , получаем
. (3.1.5)
Вероятность пребывания частицы на отрезке равна отношению времени пребывания на нём к периоду обращения между пробками:
. (3.1.6)
Пусть в интервале на данной силовой линии содержится частиц. Тогда полное приращение энергии в трубке сечением dS имеет вид
(3.1.7)
Величина – это число частиц в фазовом объёме d3pd3r. Элемент объёма dV выражается через сечение трубки и элемент её длины, dV = dlsS. Величина HdS – это магнитный поток через площадку dS. При этом соотношение (3.1.7) перепишется так:
. (3.1.8)
В случае почти изотропной функции распределения можно написать:
. (3.1.9)
Среднеквадратичная скорость частиц в неподвижной плазме пропорциональна давлению:
. (3.1.10)
Плазма будет устойчива, если её энергия при отклонении от положения равновесия будет возрастать, , то есть
. (3.1.11)
Во многих реальных системах давление анизотропно. Простейшим примером такой системы является пробкотрон. Вследствие ухода через магнитные пробки распределение частиц по параллельным скоростям отличается от распределения по перпендикулярным. В декартовой системе координат тензор давления диагонален и имеет вид
, (3.1.12
где
; f – функция
распределения частиц по скоростям.
В этом случае условие устойчивости (3.1.12) будет выглядеть так:
. (3.1.13)
В токамаке продольное давление мало отличается от перпендикулярного . Согласно (1.1.5) должно выполняться равенство (H, P) = 0. Поэтому условие (2.1.11) переходит в условие
, (3.1.14)
С другой стороны, вариацию интеграла можно представить в следующем виде:
,
так как в замкнутых системах величина не варьируется. Таким образом, условие устойчивости имеет вид
. (3.1.15)
То есть интеграл должен убывать при удалении от оси системы.
Условие (3.1.15) можно представить несколько иначе:
, (3.1.16)
где – сечение трубки, – объём трубки, а – магнитный поток через это сечение. Условием устойчивости является убывание объёма силовой трубки с ростом заключённого в ней магнитного потока.
Очевидно, что невозможно создать систему с абсолютным минимумом магнитного потока. Но возможно создать систему с минимумом Н в среднем. Примерами таких систем являются цилиндр с эллиптическим сечением, в котором эллипс сечения вращается вокруг центральной оси, и пробкотрон со стабилизирующими стержнями (установка Иоффе, рис. 7).
Рис. 7. Схема установки Иоффе
Подробнее об этом можно прочитать в работе [1].