Базис и размерность линейного пространства

Определение 8.3. Совокупность линейно независимых векторов, порожда-ющих линейное пространство V, называют базисом этого пространства. Если u ¹, u ²,..., u ⁿ – базис пространства V, то любой вектор х из V может быть представлен в виде линейной комбинации векторов u ¹, u ²,..., u ⁿ:

x = u ¹ + u ² +... + u ⁿ = u ⁱ. (8.5)

В разложении (8.5) числа , ,..., называются координатами, или компонентами, вектора х в базисе u ¹, u ²,..., u ⁿ.

Докажем единственность представления (8.5). Допустим, что х можно представить еще и в виде х = b ₁ u ¹ + b ₂ u ² +... + b_n u ⁿ. Вычтем это равенство из соотношения (8.5) и получим ( – b ₁) u ¹ + ( – b ₂) u ² +... + ( – b_n) u ⁿ = 0. Так как векторы u ¹, u ²,..., u ⁿ линейно независимы, то = b_i, i = 1, 2,..., п.

Как и в R ³, линейные операции над векторами пространства V при заданном базисе приводят к обычным линейным операциям над числами – координатами этих векторов в данном базисе, т. е. если

x = u ¹ + u ² +... + u ⁿ, у = b ₁ u ¹ + b ₂ u ² +...+ b_n u ⁿ,

то

х + у = ( + b ₁) u ¹ + ( + b ₂) u ² +… + ( + b_n) u ⁿ,

x = () u ¹ + () u ²+... + () u ⁿ. (8.6)

Учитывая взаимно однозначное соответствие между вектором и его координатами в выбранном базисе u ¹, u ²,..., u ⁿ, будем писать

x = u ¹ + u ² +... + u ⁿ х = (, ,..., ). (8.7)

Теорема 8.2. Если линейное пространство V имеет базис, состоящий из n элементов, то всякие р векторов из V при р > n линейно зависимы.

Доказательство. Согласно утверждению 2 теоремы 8.1, можно считать, что р = n + 1. Рассмотрим случай, когда пространство V имеет базис, состоящий из единственного элемента u. Тогда для любых x ¹ и x ² имеем x ¹ = u и x ² = u. Если и не равны нулю, то x ¹ – x ² = 0 и, значит, векторы x ¹ и x ² линейно зависимы. Если же = 0 или = 0, то векторы x ¹ и x ² тоже линейно зависимы, т. к. среди них есть нулевой вектор (утверждение 1 теоремы 8.1).

Дальнейшие рассуждения продолжаем по индукции. Допустим, что в пространстве, базис которого состоит из n – 1 элементов, n векторов линейно зависимы. Рассмотрим пространство V, имеющее базис u ¹, u ²,..., u ⁿ. Пусть n + 1 элементов из V имеют вид

х ^т = a_{m 1} u ¹ + a_{m 2} u ² +... + a_mn u ⁿ, т = 1, 2,..., n + 1.

Если в этом равенстве все коэффициенты a_mn, т = 1, 2,..., n, n + 1, равны нулю, то векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ, x ^{n +1} принадлежат пространству, порожденному элементами u ¹, u ²,..., u ^{n –1}. Следовательно, по предположению индукции они линейно зависимы. Пусть теперь хотя бы один из коэффициентов a_mn, например a _{( n +1) n}, отличен от нуля. Рассмотрим векторы

у ^m = х ^т x ^{n +1}, m = 1, 2, …, n.

Коэффициенты при n -м элементе u ⁿ базиса в разложениях векторов у ^m равны нулю, и, значит, по предположению индукции векторы y ¹, y ²,..., y ⁿ линейно зависимы. В таком случае существуют n чисел , ,… , не все равные нулю, которые удовлетворяют равенству y ¹ + y ² +... + y ⁿ = 0. Отсюда следует, что

x ¹ + x ² +… + x ⁿ x ^{n +1} = 0.

А т. к. не все числа , ,…, равны нулю, то векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ, x ^{n +1} являются линейно зависимыми.¨

Следствие 1. Если пространство V имеет базис из n элементов и если р векторов из V линейно независимы, то .

Следствие 2. Если линейное пространство V имеет некоторый базис из n элементов, то и всякий другой базис пространства V состоит из n элементов.

Доказательство. Если v ¹, v ²,…, v ^p – другой базис пространства V, то векторы v ¹, v ²,…, v ^p линейно независимы и по предыдущему следствию . Поменяв местами базисы v ¹, v ²,…, v ^p и u ¹, u ²,..., u ⁿ, получаем, что . Значит, р = n. ¨

Определение 8.4. Если V – линейное пространство с конечным базисом, то число n элементов этого базиса называется размерностью пространства V. Размерность обозначается dim V (от англ. dimension – «размерность»).

Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов.

Теорема 8.3. Любую систему из k линейно независимых векторов u ¹, u ²,..., u ^k, k < n, n -мерного пространства V можно дополнить до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть k < n. Допустим, что к векторам u ¹, u ²,..., u ^k нельзя добавить вектор u ^{k +1}, такой, что векторы u ¹, u ²,..., u ^k, u ^{k +1} будут линейно зависимы. Это значит, что в пространстве V имеется только k линейно независимых векторов, т. е. dim V = k < n, что противоречит условию теоремы. Следовательно, к векторам u ¹, u ²,..., u ^k можно добавить вектор u ^{k +1}Î V, такой, что система векторов u ¹, u ²,..., u ^k, u ^{k +1} линейно независима. Если k + 1 < n, то, повторяя предыдущие рассуждения, получим, что можно добавить еще один вектор u ^{k +2} Î V так, что векторы u ¹, u ²,..., u ^k, u ^{k +1}, u ^{k +2} линейно независимы. После конечного числа шагов получим ровно n линейно независимых векторов u ¹, u ²,…, u ^k, u ^{k +1},…, u ⁿ, образующих, по определению, базис пространства V. ¨

Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств.

Пример 5. В пространстве R ³ базис образует тройка единичных взаимно ортогональных векторов i, j, k. Любой вектор x Î R ³ имеет вид x = a i + b j + g k, где a, b, g – проекции вектора на оси координат.·

Пример 6. В пространстве R ⁿ базисом служит система векторов (8.4), т. к. эти векторы, как показано выше, линейно независимы, и для любого x Î R ⁿ справедливо разложение (8.5): x = (x ₁, x ₂,…, x_n) = x ₁ е ^l + x ₂ е ² +... + x_n е ⁿ. ·

Пример 7. Пусть P_n (x) – пространство многочленов степени не выше n. В примере 3 показано, что векторы 1, x, x ²,..., xⁿ линейно независимы. Каждый многочлен f (x)Î P_n (x) линейно выражается через них очевидным образом: f (x) = а ₀ + + x + x ² +… + xⁿ, где а_i, i = 0, 1,…, n, – коэффициенты f (x). Отсюда следует, что векторы 1, x, x ²,..., xⁿ образуют базис пространства P_n (x) и dim P_n (x) = n + 1.·

Пример 8. Примером бесконечномерного пространства может служить пространство C _{[ a ; b ]}. В самом деле, для любого натурального числа n система 1, x, x ²,..., xⁿ, состоящая из n + 1 векторов этого пространства, как показано в примере 3, является линейно независимой.·