Понятие подпространства и линейной оболочки

Определение 8.5. Подnространством линейного nространства V называется всякое непустое подмножество , обладающее следующими свойствами:

1°. Если x, y V ₁, то x + y V ₁.

2°. Если x V ₁, R, то x V ₁.

Убедимся, что подпространство , удовлетворяющее требованиям 1° и 2°, само является линейным пространством. Действительно, аксиомы 1°, 2°, 5°–8° линейного пространства для векторов из V ₁, очевидно, выполняются. Надо убедиться только в том, что нулевой вектор принадлежит V ₁ и что для любого x V ₁ существует противоположный элемент (– x) V ₁.

В самом деле, если x V ₁, то произведения x = 0 и (– 1) x = – x также принадлежат V ₁.

Приведем примеры подпространств линейных пространств.

Пример 9. Пусть V = R ². В этом пространстве рассмотрим множества V ₁ и V ₂ всех векторов вида a = (x, 0) и вида b = (0, y) соответственно. Любые векторы a ¹ = (x ₁, 0), a ² = (x ₂, 0) и a = (x, 0) из V ₁ обладают свойствами

a ¹ + a ² = (x ₁ + x ₂, 0) V ₁; a = ( x, 0) V ₁, R.

Аналогично, для всех векторов b ¹ = (0, y ₁), b ² = (0, y ₂) и b = (0, y) из V ₂ имеем

b ¹ + b ² = (0, y ₁ + y ₂) V ₂; b = (0, у) V ₂, R.

Таким образом, V ₁ и V ₂ – подпространства пространства R ². Подпространство V ₁ состоит из всех векторов, параллельных оси Ox, а подпространство V ₂ образуют все векторы, параллельные оси Oy. ·

Пример 10. Пусть V = R ³. Векторы вида a = (x, 0, 0), вида b = (0, у, 0) и вида с = (0, 0, z) образуют три самостоятельных линейных подпространства в R ³, состоящих из всех векторов, параллельных осям Ox, Oy и Oz соответственно. Аналогично, векторы вида a ¹ = (0, у, z), вида b ¹ = (x, 0, z) и вида c ¹ = (x, y, 0) образуют линейные подпространства в R ³, состоящие из всех векторов, параллельных плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно. ·

Пример 11. Пусть V = C_{[a; b]}, а V ₁ – подмножество функций f из C _{[ a ; b ]}, таких, что f (x ₀) = 0 для фиксированного x ₀ [ а; b ]. Если f ₁(x ₀) = 0, f ₂(x ₀) = 0, то f ₁(x ₀) + f ₂(x ₀) = = 0 и f ₁(x ₀) = 0, R. Значит, V ₁ – подпространство пространства C _{[ a ; b ]}. ·

Если в n -мерном пространстве V всякие n + 1 векторов линейно зависимы, то это утверждение и подавно выполнено в подпространстве , т. е. dim V ₁ dim V. Другими словами, размерность подпространства не превосходит размерности самого линейного пространства.

Важным в теории линейных пространств является понятие линейной оболочки.

Определение 8.6. Пусть x ¹, x ²,…, x ^k – система векторов линейного пространства V. Линейной оболочкой, порожденной векторами x ¹, x ²,…, x ^k, называется совокупность всех линейных комбинаций вида y = x ¹ + x ² +… + x ^k, где , ,..., – любые числа из R, и обозначается L (x ¹, x ²,…, x ^k).

Легко показать, что линейная оболочка L (x ¹, x ²,…, x ^k) является подпро-странством линейного пространства V.

Пусть y ^l = x ¹ + x ² +… + x ^k, y ² = x ¹ + x ² +… + x ^k – произвольные элементы из L (x ¹, x ²,…, x ^k). Тогда по аксиомам 5°, 7°, 8° линейного пространства

y ^l + y ² = x ¹ + x ² +…+ x ^k L (x ¹, x ²,…, x ^k);

y ^l = x ¹ + x ² +…+ x ^k L (x ¹, x ²,…, x ^k), R.

Следовательно, L (x ¹, x ²,…, x ^k) – подпространство линейного пространства V, а, значит, dim L dim V, причем dim L = k тогда и только тогда, когда векторы x ¹, x ²,…, x ^k линейно независимы.