Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 8.2. Пусть x ¹, x ²,…, x ⁿ – векторы линейного пространства V и , ,…, – произвольные действительные числа. Вектор

y = x ¹ + x ² +… + x ⁿ = x ⁱ (8.1)

называется линейной комбинацией векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ, а числа , ,…, – коэффициентами линейной комбинации. Говорят, что множество векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ порождает пространство V, если каждый вектор y из V может быть представлен в виде (8.1). Векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ линейного пространства V называются линейно зависимыми, если существуют числа , ,…, , не все равные нулю, такие, что

x ¹ + x ² +… + x ⁿ = 0. (8.2)

Если же равенство (8.2) выполняется лишь в единственном случае, когда = =... = = 0, то векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ называются линейно независимыми.

Понятие линейной зависимости векторов в R ³ введено в §2.2. Там же показано, что если векторы линейно зависимы, то один из них является линейной комбинацией остальных векторов.

Это доказательство дословно переносится на случай любого линейного пространства V.

Верно и обратное: если один из векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ является линейной комбинацией остальных, то указанные векторы линейно зависимы.

Действительно, пусть, например, x ¹= x ² + x ³ +… + x ⁿ. Тогда (– 1) x ¹ + + x ² +… + x ⁿ = 0. Так как – 1 ¹ 0, то последнее равенство и устанавливает линейную зависимость векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ.

Теорема 8.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Если среди векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ содержится нулевой вектор, то они линейно зависимы.

2. Если среди векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ имеется k (k < п) линейно зависимых векторов, то и вся система векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ линейно зависима.

3. Если векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ линейно независимы, то и любая часть этой системы векторов линейно независима.

Доказательство.

1. Если вектор x ^k = 0, то из равенства x ¹ +... + x ^k ^–1 + x ^k +… + x ⁿ = 0 вытекает линейная зависимость векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ.

2. Пусть векторы x ¹, x ²,…, x ^k, k < п, линейно зависимы. Тогда из равенства x ¹ + x ² +… + x ^k = 0, в котором среди чисел , ,..., хотя бы одно не равно нулю, получим равенство x ¹ + x ² +… + x ^k + x ^k ⁺¹ +... + x ⁿ = 0, которое и означает линейную зависимость всей системы векторов x ¹, x ²,…, x ⁿ.

3. Пусть векторы x ¹, x ²,…, x ⁿ линейно независимы. Если бы некоторая часть этих векторов была линейно зависимой, то на основании утверждения 2 вся система x ¹, x ²,…, x ⁿ была бы линейно зависимой, что не так.¨

Рассмотрим некоторые примеры, поясняющие понятие линейной зависимости векторов.

Пример 1. В линейном пространстве R ³ векторы x ¹ = (1, – 1, 0), x ² = (2, 1, 3) и x ³ = (14, – 2, 12), очевидно, линейно зависимы, т. к. имеет место равенство

.·

Пример 2. Три функции f ₁(x) = 1, f ₂(x) = cos2 х, f ₃(x) = sin² х в пространстве C _[ _a _;_b_], где [ a; b ] – произвольный отрезок, линейно зависимы, поскольку

f ₁(x) – f ₂(x) – 2 f ₃(x) = 0, " x Î R. ·

Пример 3. Покажем, что в пространстве C _[ _a _; _b _] векторы у ¹ = 1, у ² = х, у ³ = = x ²,..., у ⁿ ⁺¹ = xⁿ, где n – любое натуральное число, [ a; b ] – произвольный отрезок, линейно независимы. Для этого достаточно убедиться в том, что равенство

× 1 + x + x ² +…+ xⁿ = 0, " x Î R, (8.3)

возможно лишь при = =... = = 0.

Действительно, полагая в равенстве (8.3) х ₀ = 0, получаем = 0. Тогда находим ( + x +... + xⁿ ^–1) x = 0, x Î R. Последнее соотношение для всех х Î R возможно, если + x +... + xⁿ ^–1 = 0. Полагая здесь снова х ₀ = 0, получаем = 0. Продолжая эти рассуждения, на (n + 1)-м шаге имеем = 0, т. е. равенство (8.3) возможно только при = =... = = 0.·