Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств

Глава 3. Линейные векторные пространства

Тема 8. Линейные векторные пространства

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств

В §2.1 определены операция сложения свободных векторов из R ³ и операция умножения векторов на действительные числа, а также перечислены свойства этих операций. Распространение этих операций и их свойств на множество объектов (элементов) произвольной природы приводит к обобщению понятия линейного пространства геометрических векторов из R ³, определенного в §2.1. Сформулируем определение линейного векторного пространства.

Определение 8.1. Множество V элементов х, у, z,... называется линейным векторным пространством, если:

имеется правило, которое каждым двум элементам x и у из V ставит в соответствие третий элемент из V, называемый суммой х и у и обозначаемый х + у;

имеется правило, которое каждому элементу x и любому действительному числу ставит в соответствие элемент из V, называемый произведением элемента х на число и обозначаемый x.

При этом сумма любых двух элементов х + у и произведение x любого элемента на любое число должны удовлетворять следующим требованиям – аксиомам линейного пространства:

1°. х + у = у + х (коммутативность сложения).

2°. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).

3°. Существует элемент 0 , называемый нулевым, такой, что

х + 0 = х, x .

4°. Для любого x существует элемент (– х), называемый противоположным для х, такой, что

х + (– х) = 0.

5°. ( x) = () x, x , , R.

6°. x = x, x .

7°. () x = x + x, x , , R.

8°. (х + у) = x + y, x, y , R.

Элементы линейного пространства будем называть векторами независимо от их природы.

Из аксиом 1°–8° следует, что в любом линейном пространстве V справедливы следующие свойства:

1) существует единственный нулевой вектор;

2) для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор (– х) , причем (– х) = (– l) х;

3) для любого вектора х справедливо равенство 0× х = 0.

Докажем, например, свойство 1). Допустим, что в пространстве V существуют два нуля: 0 ₁ и 0 ₂. Положив в аксиоме 3° х = 0 ₁, 0 = 0 ₂, получим 0 ₁ + 0 ₂ = 0 ₁. Аналогично, если х = 0 ₂, 0 = 0 ₁, то 0 ₂ + 0 ₁ = 0 ₂. Учитывая аксиому 1°, получаем 0 ₁ = 0 ₂.

Доказательство свойств 2) и 3) рекомендуется провести читателю самостоятельно.

Приведем примеры линейных пространств.

1. Множество действительных чисел образует линейное пространство R. Аксиомы 1°–8° в нем, очевидно, выполняются.

2. Множество свободных векторов трехмерного пространства, как показано в §2.1, также образует линейное пространство, обозначаемое R ³. Нулем этого пространства служит нулевой вектор.

Множество векторов на плоскости и на прямой также являются линейными пространствами. Будем обозначать их R ¹ и R ² соответственно.

3. Обобщением пространств R ¹, R ² и R ³ служит пространство R ⁿ, n N, называемое арифметическим n-мерным пространством, элементами (векторами) которого являются упорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел (x ₁,…, x_n), т. е.

R ⁿ = {(x ₁,…, x_n) | x_i R, i = 1,…, n }.

Удобно использовать обозначение x = (x ₁,…, x_n), при этом x_i называется i-й координатой (компонентой) вектора x.

Для х, у R ⁿ и R определим сложение и умножение на число следующими формулами:

х + у = (x ₁ + y ₁,…, x_n + y_n);

x = ( x ₁,…, x_n).

Нулевым элементом пространства R ⁿ является вектор 0 = (0,…, 0). Равенство двух векторов х = (x ₁,…, x_n) и у = (y ₁,…, y_n) из R ⁿ, по определению, означает равенство соответствующих координат, т. е. х = у Û x ₁ = y ₁ &… & x_n = y_n.

Выполнение аксиом 1°–8° здесь очевидно.

4. Пусть C _{[ a ; b ]} – множество вещественных непрерывных на отрезке [ a; b ] функций f: [ a; b ] R.

Суммой функций f и g из C _{[ a ; b ]} называется функция h = f + g, определяемая равенством

h = f + g Û h (x) = (f + g)(x) = f (х) + g (x), " x Î [ a; b ].

Произведение функции f Î C _{[ a ; b ]} на число a Î R определяется равенством

u = f Û u (х) = ( f)(х) = f (x), " x Î [ a; b ].

Так введенные операции сложения двух функций и умножения функции на число превращают множество C _{[ a ; b ]} в линейное пространство, векторами которого являются функции. Аксиомы 1°–8° в этом пространстве, очевидно, выполняются. Нулевым вектором этого пространства является тождественно нулевая функция, а равенство двух функций f и g означает, по определению, следующее:

f = g f (x) = g (x), " x Î [ a; b ].