Неравенство Коши – Буняковского

Покажем, что для любых двух векторов x и y евклидова пространства справедливо неравенство

|(x, y)| , (9.2)

называемое неравенством Коши – Буняковского *, причем знак равенства в нем имеет место только в том случае, если векторы x и y линейно зависимы.

В самом деле, если x = 0 или y = 0, то неравенство (9.2) очевидно, поэто-му будем считать, что, например, y 0. Рассмотрим вектор z = x + y, где – любое действительное число. Поскольку (z, z) , то имеем

(z, z) = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) . (9.3)

При = – (x, y)/(y, y) из неравенства (9.3) получим

,

или

что равносильно неравенству (9.2).

Знак равенства в (9.2) возможен тогда и только тогда, когда (z, z) = 0 z = x + y = 0 x = – y, т. е. когда векторы x и y линейно зависимы.

Из определения скалярного произведения в R ⁿ (формула (9.1)) следует, что в R ⁿ неравенство Коши – Буняковского принимает вид

.