Пересечение и прямая сумма пространств

Определение 8.7. Пусть V ₁ и V ₂ – два линейных пространства. Пересечением этих пространств называется совокупность всех векторов x, принадлежащих как V ₁, так и V ₂, т. е.

= { x | x V ₁ & x V ₂}.

Совокупность всех векторов вида y + z, где y V ₁, z V ₂, называется суммой пространств V ₁ и V ₂ и обозначается V ₁ + V ₂, т. е.

V ₁ + V ₂ = { y + z | y V ₁, z V ₂}.

Покажем, что образует линейное пространство, являющееся под-пространством как V ₁, так и V ₂. В самом деле, если x и y принадлежат , то они принадлежат и V ₁, и V ₂. Поэтому вектор x + y и вектор x, R, также принадлежат и V ₁, и V ₂, т. е. x + y и x .

Пример 12. Пусть V ₁ – пространство всех векторов вида a = (x, 0, z), V ₂ – пространство всех векторов вида b = (0, y, z). Тогда суммой этих пространств является множество векторов вида a + b = (x, у, 2 z), т. е. V ₁ + V ₂ = R ³. Пересечение пространств V ₁ и V ₂ есть множество векторов вида (0, 0, z), т. е. – множество всех векторов, параллельных оси Oz. ·

Определение 8.8. Подпространства V ₁ и V ₂ линейного пространства V называются дополнительными в V, если выполнены соотношения

V ₁ + V ₂ = V, = 0, 0 V.

В этом случае говорят, что пространство V представлено в виде прямой суммы подпространств V ₁ и V ₂.

Пример 13. В пространстве R ³ выделим плоскость Оху (рис. 8.1). Рассмотрим в R ³ линейное подпространство R ¹ векторов вида z = (0, 0, z), направленных параллельно оси Oz. Векторы на плоскости R ² имеют вид u = (x, у, 0). Общим вектором пространств R ¹ и R ² является, очевидно, нулевой вектор 0 = = (0, 0, 0). Пусть а = (x, у, z) – любой вектор из R ³.

Тогда a = (x, у, z) = (x, у, 0) + (0, 0, z) = u + z. Таким образом, R ³ можно представить в виде прямой суммы подпространств R ¹ и R ². ·

Теоремa 8.4. Для того чтобы пространство V являлось прямой суммой подпространств V ₁ и V ₂, необходимо и достаточно, чтобы всякий элемент x V единственным образом представлялся в виде

x = x ¹ + x ², где x ¹ V ₁, x ² V ₂.

Доказательство. Необходимость. Пусть V ₁ + V ₂= V, = 0. Предположим, что x V имеет два представления: x = x ¹ + x ² и x = y ^l + y ². Отсюда x ¹ + x ² = = y ^l + y ², или x ¹ – y ^l = y ² – x ². Левая часть принадлежит V ₁, а правая часть принадлежит V ₂. Поскольку общим у V ₁ и V ₂ является 0, то x ¹ = y ^l, x ² = y ².

Достаточность. Если для любого x V верно единственное разложение x = = x ¹ + x ², то, по определению, V = V ₁ + V ₂. Покажем теперь, что единственным элементом, общим для V ₁ и V ₂, является 0. Действительно, если a и a ¹ 0, то для x имеем два представления: x = x ¹ + x ² и x = (x ¹ – a) + (x ² + a), что противоречит единственности.¨

Определение 8.9. Обобщая определение 8.8, будем говорить, что пространство V разлагается в прямую сумму подпространств V ₁, V ₂,..., V_k, если

V = V ₁ + V ₂ +… + V_k; = 0 при , где i, j = l, 2,..., k.

В этом случае любой вектор x V единственным образом представляется в виде

x = x ¹ + x ² +… + x ^k, x ⁱ V_i, i = 1, 2,..., k.

Например, в пространстве R ⁿ рассмотрим подпространства R , R ,…, R , порождаемые векторами вида (x ₁, 0,..., 0), (0, x ₂,..., 0),..., (0, 0,..., x_n) соответственно. Поскольку x = (x ₁, x ₂,..., x_n) = (x ₁, 0,..., 0) + (0, x ₂,..., 0) +... + (0, 0,..., x_n), то R ⁿ = R + R +… + R . Кроме того, R R = 0 при всех i ¹ j, где i, j = l, 2,..., n, т. е. указанная сумма – прямая.

Теоремa 8.5. Если пространство V представлено в виде прямой суммы пространств V ₁ и V ₂, то dim V = dim V ₁ + dim V ₂.

Доказательство. Из соотношения V = V ₁ + V ₂ следует, что для любого x V справедливо равенство x = x ¹ + x ², где x ¹ V ₁, x ² V ₂. Пусть u ¹, u ²,..., u ^k – базис пространства V ₁ (dim V ₁ = k) и v ¹, v ²,…, v ^r – базис пространства V ₂ (dim V ₂ = r). Тогда для x ¹ и x ² имеют место разложения x ¹ = u ¹ + u ² +... + u ^k и x ² = v ¹ + v ² +... + v ^r. Следовательно,

x = x ¹ + x ² = u ¹ + u ² +... + u ^k + v ¹ + v ² +... + v ^r.

Поскольку = 0, то векторы u ¹, u ²,..., u ^k, v ¹, v ²,…, v ^r линейно независимы (докажите это), и, согласно последнему равенству, эти векторы порождают все пространство V. Значит, они образуют базис V и dim V = k + r. ¨