Определение евклидова пространства

Определение 9.1. Линейное пространство V называется евклидовым, если каждой паре векторов x, y из V поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1°. (x, y) = (y, x), x, y V.

2°. (x + y, z) = (x, z) + (y, z), x, y, z V.

3°. ( x, y) = (x, y), x, y V, R.

4°. (x, x) , x V; (x, x) = 0 x = 0.

В дальнейшем, если не оговорено особо, будут рассматриваться евклидовы пространства конечной размерности n.

Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.

Пример 1. Рассмотрим пространство R ³ свободных векторов, в котором скалярное произведение двух векторов x и y определяется, как в §2.4. Оно удовлетворяет аксиомам 1°–4°. Поэтому R ³ – евклидово пространство.·

Пример 2. Пусть е ^l, е ²,..., е ⁿ – базис линейного пространства V. Для любых векторов x и y этого пространства, заданных разложениями вида (8.7)

x = x ₁ е ^l + x ₂ е ² +... + x _n е ⁿ = (x ₁, x ₂,…, x_n),

y = y ₁ е ^l + y ₂ е ² +... + y _n е ⁿ = (y ₁, y ₂,…, y_n),

введем скалярное произведение по формуле

(x, y) = . (9.1)

В частности, в линейном пространстве R ⁿ формула (9.1) также определяет скалярное произведение, превращая его тем самым в евклидово пространство R ⁿ.

Проверка справедливости аксиом 1°–4° не представляет труда. Следовательно, линейное пространство V, а значит, и R ⁿ со скалярным произведением, заданным формулой (9.1), является евклидовым.·

Из аксиом 2° и 3° скалярного произведения следует, что если y = y ¹ + + y ² +... + y ⁿ, где , ,..., – числа из R, а y ¹, y ²,…, y ⁿ – векторы из V, то

(x, y) = (x, y ¹ + y ² +... + y ⁿ) = (x, y ¹) + (x, y ²) +… + (x, y ⁿ) = (x, y ⁱ).