Норма вектора. Расстояние между векторами

Определение 9.2. Определим норму (или длину) вектора || x || в евклидовом пространстве V равенством

которое в R ⁿ, согласно формуле (9.1) имеет вид

. (9.4)

Введенное таким образом понятие нормы вектора обобщает понятие длины вектора в пространстве R ³.

Перечислим свойства нормы вектора, непосредственно вытекающие из ее определения:

1°. , ; 0 x = 0.

2°. , R. В самом деле,

.

3°. Норма удовлетворяет неравенству треугольника (неравенству Минковского *)

(9.5)

Действительно, используя неравенство Коши – Буняковского, получаем

что равносильно неравенству (9.5).

Определение 9.3. Расстоянием между векторами x и y евклидова пространства V назовем величину

(9.6)

В пространстве R ⁿ расстояние между векторами x = (x ₁, x ₂,…, x_n) и y = = (y ₁, y ₂,…, y_n), согласно формулам (9.4) и (9.6), определяется равенством

. (9.7)

Расстояние обладает следующими свойствами:

1°. , x, y V; = 0 x = y. Действительно,

x y.

2°. = . Это свойство вытекает из того, что

.

3°. Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника

x, y, z V.

В самом деле, в силу свойства 3° нормы имеем