Угол между векторами. Ортогональность векторов

Из неравенства Коши – Буняковского для ненулевых векторов получаем

,

или

Отсюда следует, что существует, и притом единственное, значение угла j, , для которого

(9.8)

Определение 9.4. Назовем углом между векторами x и y евклидова пространства V угол j, косинус которого определяется соотношением (9.8). Введенное понятие угла между векторами обобщает понятие угла между векторами в R ³.

Если е ^l, е ²,..., е ⁿ – базисные векторы пространства R ⁿ, то направляющие косинусы вектора x = (x ₁, x ₂,…, x_n) определим соотношениями

i = 1, 2,…, n,

где – угол между векторами x и e ⁱ из R ⁿ.

Легко проверить, что = 1.

Умножив ненулевой вектор x на число 1/|| x ||, получим нормированный вектор x ⁰, длина которого равна единице, т. е.

.

Отсюда следует, что координатами вектора единичной длины, как и в R ³, служат направляющие косинусы этого вектора.

Определение 9.5. Два вектора x и y из V называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е.

Как и в R ³, считается, что нулевой вектор ортогонален любому вектору x из V.

Из определения косинуса угла между векторами в евклидовом пространстве следует, что для того, чтобы ненулевые векторы x и y были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы cosÐ (x, y) = 0. Введенное понятие ортогональности в евклидовом пространстве соответствует обычному понятию перпендикулярности в R ³.

Отметим, что ортогональность векторов x и y в R ⁿ равносильна выполнению равенства

.