2015-08-21
4862
Во множестве линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы операторов и умножения оператора на число.
Определение 10.10. Суммой линейных операторов A и B называется оператор A + B, определяемый равенством (A + B) x = Ax + Bx, 
x 
V.
Определение 10.11. Произведением линейного оператора A на число a называется оператор a A, определяемый равенством (a A) x = a (Ax), x V.
Линейность операторов A + B и a A очевидна.
Операторы A и B, действующие из V в W в заданных базисах, имеют мат-рицы А и В одинаковых размеров. Учитывая равенство (10.6), получаем матричные равенства (А + В) x = А x + В x, (aА) x = a (А x) для суммы операторов и произведения оператора на число, т. е. матрицей суммы операторов является сумма матриц этих операторов, а матрицей произведения оператора на число является произведение матрицы оператора на это число.
Определение 10.12. Пусть U, V и W – три линейных пространства размерностей k, n и т соответственно. Произведением, или композицией, двух линейных операторов A: V ® W и B: U ® V называется оператор C: U ® W, обозначаемый C = AB, такой, что
Cx = (AB) x = A (Bx), x U.
Таким образом, произведение операторов A и B состоит в последовательном выполнении преобразований B и A, т. е. сначала на вектор x действует оператор B, а затем на полученный результат действует оператор A.
Линейность оператора C = AB вытекает из следующего равенства:
C (
x 1 + 
x 2) = A (B ( x 1 + x 2)) = A ( Bx 1 + Bx 2) = A (Bx 1) + + A (Bx 2) = (AB) x 1 + (AB) x 2 = Cx 1 + Cx 2, x 1, x 2 U, , R.
Покажем, что матрица произведения линейных операторов равна произведению матриц этих операторов. В самом деле, пусть u 1, u 2,…, u k – базис пространства U, v 1, v 2,…, v n – базис пространства V, w 1, w 2,…, w m – базис пространства W. Тогда, согласно равенству (10.3), имеем
(AB) u j = A (Bu j) = A 
w i 
w i, j = 1, 2,..., k,
откуда следует справедливость сформулированного выше утверждения.
Заметим, что, вообще говоря, как и для матриц, AB 
BA.
Пример 7. Из геометрических соображений ясно, что последовательное выполнение двух поворотов плоскости R 2 на углы j и y равносильно одному повороту ее на угол j + y.
Пусть A и B – операторы поворота на угол j и y соответственно, а
и 
–
их матрицы. Тогда поворот на угол j + y осуществляет оператор с матрицей
,
откуда следует, что результирующий поворот осуществлен на угол j + y. ·
Справедливы следующие свойства линейных операторов:
1°. A + B = B + A.
2°. (A + B) + C = A + (B + C).
3°. A + О = A.
4°. A + ( – A) = O.
5°. 
(
A) = (
) A, 
, 
R.
6°. ( + ) A = A + A, (A + B) = A + B, , R.
7°. (AB) = ( A) B, 
R.
8°. (A + B) C = AC + BC.
9°. A (B + C) = AB + AC.
10°. (AB) C = A (BC).
Справедливость свойств 1°–6° очевидна. Докажем свойство 10°. Действительно, по определению произведения линейных операторов имеем
(A (BC)) x = A ((BC) x) = A (B (Cx));
((AB) C) x = (AB)(Cx) = A (B (Cx)).
Откуда и следует справедливость свойства 10°.
Свойства 7°–9° доказываются аналогично.
