Действия над линейными операторами

Во множестве линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы операторов и умножения оператора на число.

Определение 10.10. Суммой линейных операторов A и B называется оператор A + B, определяемый равенством (A + B) x = Ax + Bx, x V.

Определение 10.11. Произведением линейного оператора A на число a называется оператор a A, определяемый равенством (a A) x = a (Ax), x V.

Линейность операторов A + B и a A очевидна.

Операторы A и B, действующие из V в W в заданных базисах, имеют мат-рицы А и В одинаковых размеров. Учитывая равенство (10.6), получаем матричные равенства (А + В) x = А x + В x, (aА) x = a (А x) для суммы операторов и произведения оператора на число, т. е. матрицей суммы операторов является сумма матриц этих операторов, а матрицей произведения оператора на число является произведение матрицы оператора на это число.

Определение 10.12. Пусть U, V и W – три линейных пространства размерностей k, n и т соответственно. Произведением, или композицией, двух линейных операторов A: V ® W и B: U ® V называется оператор C: U ® W, обозначаемый C = AB, такой, что

Cx = (AB) x = A (Bx), x U.

Таким образом, произведение операторов A и B состоит в последовательном выполнении преобразований B и A, т. е. сначала на вектор x действует оператор B, а затем на полученный результат действует оператор A.

Линейность оператора C = AB вытекает из следующего равенства:

C ( x ¹+ x ²) = A (B ( x ¹+ x ²)) = A ( Bx ¹+ Bx ²) = A (Bx ¹) + + A (Bx ²) = (AB) x ¹ + (AB) x ² = Cx ¹ + Cx ², x ¹, x ² U, , R.

Покажем, что матрица произведения линейных операторов равна произведению матриц этих операторов. В самом деле, пусть u ¹, u ²,…, u ^k – базис пространства U, v ¹, v ²,…, v ⁿ – базис пространства V, w ¹, w ²,…, w ^m – базис пространства W. Тогда, согласно равенству (10.3), имеем

(AB) u ^j = A (Bu ^j) = A

w ⁱ w ⁱ, j = 1, 2,..., k,

откуда следует справедливость сформулированного выше утверждения.

Заметим, что, вообще говоря, как и для матриц, AB BA.

Пример 7. Из геометрических соображений ясно, что последовательное выполнение двух поворотов плоскости R ² на углы j и y равносильно одному повороту ее на угол j + y.

Пусть A и B – операторы поворота на угол j и y соответственно, а

и –