Понятие линейного оператора

Глава 4. Линейные операторы

Тема 10. Линейные операторы и их матрицы

Понятие линейного оператора

Определение 10.1. Пусть V и W – два линейных пространства. Отображение A: V ® W, называется линейным оператором, если

A (a x ¹ + b x ²) = a Ax ¹ + b Ax ², x ¹, x ² V, a, b R. (10.1)

Из определения линейного оператора следует более общее соотношение, которому он удовлетворяет:

A ( x ¹+ x ²+…+ x ⁿ) = Ax ¹+ Ax ²+…+ Ax ⁿ,

x ⁱ V, R, i = 1, 2, …, n.

Определение 10.2. Вектор y = Ax называется образом вектора x V.

Определение 10.3. Оператор, который каждому вектору x V ставит в соответствие нулевой вектор 0 W, является, очевидно, линейным и называется нулевым оператором. Нулевой оператор обозначается символом О. Таким образом, Оx = 0, x V.

Определение 10.4. Линейный оператор A, для которого Ax = x, x V, называется тождественным и обозначается Е.

Определение 10.5. Оператор A, удовлетворяющий соотношению Ax = a x для некоторого фиксированного a R, называется скалярным оператором, или оператором подобия. При a = – 1 оператор – A называется противоположным оператору A. Очевидно, при a = 0 и a = 1 скалярный оператор превращается в нулевой и тождественный соответственно.

Определение 10.6. Областью значений, или образом, линейного оператора A: V ® W называется множество всех векторов вида y = Ax, x V, и обозначается im A (от англ. image – «образ»).

Таким образом,

im A = { y W | y = Ax, x V }.

Определение 10.7. Ядром линейного оператора A называется множество всех векторов x V, для которых Ax = 0, и обозначается ker A (от англ. kernel – «ядро»):

ker A = { x V | Ax = 0 }.

Легко убедиться, что образ im A линейного оператора A: V ® W является подпространством пространства W, а ядро ker A – подпространством пространства V. В самом деле, если y ¹= Ax ¹ и y ²= Ax ², то в силу формулы (10.1) векторы A ( x ¹ + x ²) = y ¹ + y ², , R, принадлежат, очевидно, im A. Аналогично показывается, что ker A – подпространство пространства V.

Определение 10.8. Размерность образа im A линейного оператора называется рангом оператора и обозначается dim (im A), а размерность ядра ker A называется дефектом оператора и обозначается dim (ker A).