Сопряженные операторы и их матрицы

Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V, и (x, Ay) = (x, By), x, y V, то A = B.

В самом деле, положив в равенстве (x, Ay) = (x, By) Û (x, (A – B) y) = 0 вектор x = (A – B) y, получим ((A – B) y, (A – B) y) = ||(A – B) y ||² = 0, y V, что равносильно равенству (A – B) y = 0, y V, т. е. A – B = O, или A = B.

Определение 11.1. Линейный оператор A ^* называется сопряженным оператору A, если

(Ax, y) = (x, A ^* y), x, y V. (11.1)

Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?

Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A ^*.

Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u ¹, u ²,…, u ⁿ. Каждому линейному оператору A: V ® V в этом базисе отвечает матрица А = , i, j = 1, 2,..., n. Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B. Тогда

(Au ^j, u ⁱ) = (а ₁ _j u ¹+ а ₂ _j u ²+…+ а_nj u ⁿ, u ⁱ) = а_ij;

(u ^j, Bu ⁱ) = (u ^j, а_i ₁ u ¹+ а_i ₂ u ²+…+ а_in u ⁿ) = а_ij.

Откуда

(Au ^j, u ⁱ) = (u ^j, Bu ⁱ), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Пусть далее x = x ₁ u ¹ + x ₂ u ²+…+ x_n u ⁿ и y = у ₁ u ¹ + у ₂ u ²+…+ у_n u ⁿ – любые два вектора из V. Рассмотрим скалярные произведения (Ax, y) и (x, By):

(Ax, y) = (Au ^j, u ⁱ),

(x, By) = (u ^j, Bu ⁱ).

Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax, y) = (x, By), x, y V, т. е. B = A ^*.

Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A ^*, матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A. Единственность оператора A ^* следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨

Легко убедиться в том, что оператор A ^*, сопряженный линейному оператору A, является линейным.

Итак, оператор A ^* линеен и ему соответствует матрица A ^*. Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид

(А x, y) = (x, A ^* y), x, y V.

Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

1°. Е ^* = Е.

2°. (A ^*)^* = A.

3°. (A + B)^* = A ^* + B ^*.

4°. ( А)^* = A ^*, R.

5°. (AB)^* = B ^* A ^*.

6°. (A ^–1)^* = (A ^*)^–1.

Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.

Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A ^–1существует. Тогда из равенств AA ^–1 = A ^–1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA ^–1)^* = (A ^–1 A)^* = Е ^* = = Е и (AA ^–1)^* = (A ^–1)^* A ^*, (A ^–1 A)^* = A ^*(A ^–1)^*, т. е. что (A ^–1)^* = (A ^*)^–1. Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц: