Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.

Теоремa 13.1. Пусть u ¹, u ²,…, u ⁿ и v ¹, v ²,…, v ⁿ – два базиса в R ⁿ, а Т – матрица перехода от старого базиса к новому. Если А – матрица линейного оператора A в базисе u ¹, u ²,…, u ⁿ, то матрицей В этого оператора в новом базисе v ¹, v ²,…, v ⁿ является матрица

В = Т ^{– 1} AT. (13.7)

Доказательство. Пусть y = А x, " x Î R ⁿ, где векторы x и y рассматриваются в базисе u ¹, u ²,…, u ⁿ. Если v ¹, v ²,…, v ⁿ – новый базис и Т – матрица перехода, то в силу равенства (13.5) x = Т x ¢ и y = Т y ', где x ¢ и y ' – векторы x и y в новом базисе v ¹, v ², …, v ⁿ. Подставив x и y в равенство y = А x, получим равенство

Т y ' = АТ x ' Û y ' = Т ^{– 1}(АТ x ') Û y ' = (Т ^{– 1} АТ) x ¢,

справедливое в новом базисе v ¹, v ²,…, v ⁿ. Отсюда и следует, что матрица линейного оператора в новом базисе v ¹, v ²,…, v ⁿ находится по формуле (13.7).¨

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса пространства.

Доказательство. В самом деле, согласно свойствам определителей, имеем

.¨

Определение 13.3. Матрицы А и В = Т ^{– 1} АТ называются подобными.

Из теоремы 13.1 следует, что подобные матрицы являются матрицами одного и того же линейного оператора A: R ⁿ ® R ⁿ, но рассматриваемого в разных базисах с матрицей перехода Т.

Пример 2. В базисе u ¹, u ² оператор A имеет матрицу

.

Найти матрицу этого оператора в базисе v ¹= u ¹ +2 u ², v ² = 2 u ¹ +3 u ².

Решение. Определяем матрицу перехода и обратную ей матрицу:

, Т ^{– 1} = .

Тогда искомая матрица, согласно формуле (13.7), имеет вид

.·

Справедлива следующая теорема.

Теоремa 13.2. Собственные значения подобных матриц совпадают.

Доказательство. В самом деле, характеристический многочлен матрицы В равен характеристическому многочлену матрицы А:

.¨