Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть в R ⁿ заданы два базиса u ¹, u ²,…, u ⁿ и v ¹, v ²,…, v ⁿ, которые будем называть старым и новым соответственно. Векторы нового базиса однозначно представляются своими разложениями по векторам старого базиса u ¹, u ²,…, u ⁿ:

(13.1)

Определение 13.1. Матрица

(13.2)

называется матрицей перехода от старого базиса u ¹, u ²,…, u ⁿ к новому базису v ¹, v ²,…, v ⁿ. Из соотношений (13.1) и (13.2) следует, что столбцами матрицы перехода Т являются координаты новых базисных векторов в старом базисе.

Матрица Т является невырожденной, т. к. в противном случае ее столбцы, а значит, в силу системы (13.1), и векторы v ¹, v ²,…, v ⁿ были бы линейно зависимы, что противоречит их выбору в качестве базисных векторов.

Таким образом, для матрицы Т существует обратная матрица Т ^–¹, которая является, очевидно, матрицей перехода от нового базиса к старому.

Рассмотрим теперь, как связаны координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах.

Пусть для вектора x Î R ⁿ имеют место разложения

x = x ₁ u ¹ + x ₂ u ²+…+ x_n u ⁿ = v ¹ + v ²+…+ v ⁿ. (13.3)

Подставив в (13.3) разложения новых базисных векторов из системы (13.1), получим

х u ⁱ v ^j u ⁱ.

Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису имеем

x_i = , i = 1, 2, …, n,

или в развернутом виде

(13.4)

Таким образом, старые координаты вектора x получаются из новых его координат по формулам (13.4). Если x = (x ₁, x ₂,…, x_n) и x ¢ = , то система (13.4) в матричном виде записывается следующим образом:

x = Т x ¢. (13.5)

Соотношение (13.5) можно записать и в виде

x ¢ = Т ^–¹ x. (13.6)

Определение 13.2. Формулы (13.4)–(13.6) называются формулами преобразования координат вектора при переходе к новому базису.

Пример 1. Пусть вектор x в базисе u ¹, u ² имеет координаты (1, – 2), т. е. x = u ¹– 2 u ². Найти координаты этого вектора в базисе v ¹= u ¹, v ²= u ¹+ u ².