Нахождение стационарной точки

Содержание

Введение…………………………………………………………………..

1. Нахождение стационарной точки.....…………………………………

2. Методы прямого поиска безусловной оптимизации....…………….

2.1.Метод поиска по симплексу....…………………………………….

2.2.Метод поиска Хука-Дживса..........................................…………….

2.3.Метод сопряженных направлений Пауэлла......……………….

3. Градиентные методы безусловной оптимизации……………………

3.1. Метод Коши.........................................................................................

3.2Метод Ньютона......................................................................................

3.3.Метод сопряженных градиентов.........................................................

3.4.Квазиньютоновский метод....................................................................

4.Заключение……………………………………………………………...

5.Библиографический список………....................………………………..

Лист.

Введение

Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно. Оптимизация - это выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения.

Практика порождает все новые и новые задачи оптимизации причем их сложность растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Реальные прикладные задачи оптимизации очень сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека.

Оптимизационные методы минимизации и максимизации приобретают всё большую ценность и востребованность.

Методы оптимизации эффективно применяются в самых различных областях человеческой деятельности. Значительные успехи достигнуты при решении задач синтеза и анализа систем различного целевого назначения. Ускоренные темпы теоретических разработок в инженерную практику в существенной степени обусловлены широким распространением и совершенствованием средств вычислительной техники.

В настоящее время для инженера знание методов оптимизации также необходимо, как знание основ математического анализа, физики, радиоэлектроники и других дисциплин.

Нахождение стационарной точки

Целевая функция:

Для того, чтобы в точке функция f(x) имела безусловный локальный экстремум необходимо, чтобы все её частные производные обращались в точке в нуль.

Найдем для данной целевой функции частные производные

по и :

Приравняв полученные выражения к нулю, получим систему уравнений:

Решение системы уравнений даёт результат:

Таким образом, экстремум целевой функции является точка с координатами х* = Т, значение целевой функции, в которой: .

Для определения характера стационарной точки составим определитель матрицы Гессе. Под определителем Гессе понимается определитель, составленный из вторых производных исходной целевой функции.

Так как гессиан функция - положительно определенная матрица (выполняются условия Сильвестра: все диагональные элементы матрицы Гессе - положительные величины, все ведущие главные определители положительные величины), стационарная точка является точкой минимума.

рис.1 линии уровня функции и точка экстремума x^*