Статистические модели

Данные модели основаны на статистических предпосылках относительно поведения доходности актива и не зависят от экономических переменных. Предпосылками, достаточными для корректной спецификации модели постоянной средней доходности и рыночной модели, являются совместное многомерное нормальное распределение, независимость и идентичность распределения во времени. Данные предпосылки эмпирически обоснованны.

Существует два основных варианта моделирования нормальной доходности – модель постоянной средней доходности, и рыночная модель, предполагающая стабильную линейную взаимосвязь между рыночной доходностью и доходностью ценной бумаги.

Модель постоянной средней доходности

Пусть μ_i – средняя доходность i-ого актива, тогда модель:

где R_it – доходность акции i в период t, ζ_it – возмущение для акции i в период t.

Хотя данная модель является наиболее простой из моделей ожидаемой доходности, согласно Brown and Warner (1985) она позволяет получить результаты, близкие к результатам более сложных моделей. При использовании дневных данных, модель обычно применяется к номинальной доходности, а при использовании месячных данных – также к реальной или избыточной (excess) доходности.

Рыночная модель

Связывает доходность ценной бумаги с доходностью рыночного портфеля.

где R_it и R_mt – доходности i-ой акции и рыночного портфеля в период t, соответственно, ε_it – возмущение с нулевым математическим ожиданием.

На практике в качестве рыночного портфеля используются такие индексы, как S&P 500, CRSP Value Weighted Index, CRSP Equal Weighted Index. Рыночная модель потенциально лучше модели постоянной средней доходности, так как снижает дисперсию избыточной доходности путем устранения доли доходности, связанной с колебаниями рыночной доходности, и лучше выделяет эффект от события. Чем выше R² полученной модели, тем сильнее снижение дисперсии избыточной доходности.

Рыночная модель является частным случаем факторной модели с одним фактором. Многофакторные модели включают отраслевые индексы в дополнение к рыночному, и позволяют снизить дисперсию избыточной доходности, объясняя больше колебаний нормальной доходности. Кроме того, существует вариант факторной модели, где избыточная доходность рассчитывается как разность между фактической доходностью и доходностью портфелей, состоящих из фирм аналогичного размера.

Однако в целом выгоды от использования многофакторных моделей ограничены, так как предельная объясняющая способность дополнительных факторов мала, и дисперсия AR снижается незначительно. Снижение дисперсии обычно наибольшее, когда компании обладают сходными характеристиками, например, относятся к одной отрасли или имеют сопоставимую рыночную капитализацию.

Скорректированная рыночная модель

Применяется в случаях, когда данные для периода оценки перед событием недоступны. Представляет собой ограниченную рыночную модель с α_i, равным нулю, и β_i, равным единице. Так как коэффициенты предопределены, для оценки параметров не требуется оценочный период.