2015-08-21
960
Диапазон физических задач, решаемых с помощью этого уравнения, достаточно велик. Приведем лишь некоторые из встречающихся в инженерной практике: теплопроводность [1], фильтрация в пористой среде [2, 3], невихревое течение идеальной жидкости [5], задачи механики сплошных сред [4, 6] и электромагнетизма [7].
Вид нестационарного уравнения переноса хорошо известен из курса дифференциальных уравнений [9]:
i = 1, 2, 3. (1.1.1)
где ∆− лапласиан (дифференциальный оператор 2-го порядка); u(xi,τ) − искомая функция, описывающая поле значений физической величины; w(xi,τ) − задаваемая функция координат и времени; τ − время; k, η − коэффициенты, физический смысл которых обусловлен природой исследуемого процесса; xi, τ − текущие переменные.
Размерность и геометрическая форма области существования функции u(xi,τ) определяются, очевидно, геометрией изучаемого объекта (конструкции или ее элемента) Поэтому целесообразно записать уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, что даст возможность применять его к объекту любой геометрии и размерности. Как станет ясно впоследствии, такая форма записи будет полезна при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для решения уравнения.
Введем некоторую криволинейную ортогональную систему координат ξi (i=1,2,3), единичные орты 
которой равны
. (1.1.2)
Здесь 
− радиус-вектор точки с координатами 
, а модуль его производной по криволинейной координате , называемый параметром Ляме, равен:
, j =1, 2, 3. (1.1.3)
Элементы длины, площади поверхности и объема в этой системе координат связаны с приращениями координат через параметры Ляме:
; 
; 
(1.1.4)
Градиент функции есть вектор, который в криволинейной системе координат описывается формулой [9]:
. (1.1.5)
Оператор Лапласа может быть записан так:
.
С учетом ортогональности системы координат подстановка (1.1.5) в последнее выражение даст [11, 25]:
, (1.1.6)
где 
− якобиан преобразования декартовой системы координат в криволинейную, равный произведению параметров Ляме:
. (1.1.7)
Таким образом, дифференциальное уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат будет иметь вид:
. (1.1.8)
Конкретный вид уравнения (1.1.8) в той или иной системе координат можно получить, если задать функции связи между декартовыми 
и криволинейными координатами.
Очевидно, что в декартовой системе 
, в силу чего все параметры Ляме 
; следовательно, 
и 
. В итоге на основании (1.1.8) имеем уравнение переноса в декартовой системе координат:
. (1.1.9)
Связь между координатами декартовой и цилиндрической системами координат − 
, 
, 
− выражается известными соотношениями [11]:
; 
; 
.
Подставляя производные этих функций связи в (1.1.3), найдем параметры Ляме и якобиан:
; 
; 
; , (1.1.10а))
что после внесения их в уравнение (1.1.8) дает:
. (1.1.11)
В случае сферической системы координат – 
, (азимутальный угол), 
(полярный угол) – связь между координатами также известна [11]:
; 
; 
.
Параметры Ляме и якобиан будут следующими:
; 
; h3 = r; 
, (1.1.10 б))
и уравнение примет вид:
. (1.1.12)
Заметим, что согласно (1.1.4):
. (1.1.13)
Из курса аналитической геометрии [11] известно, что орты криволинейной ортогональной системы координат направлены по нормали 
и по касательным 
и 
к соответствующим координатным линиям и не сохраняют свои направления в пространстве при изменении координат точки, оставаясь при этом ортогональными. Введем понятие порядка симметрии S системы координат, равном числу изменяющих свое направление ортов при изменении координат точки. Тогда полученные выражения дифференциальных уравнений (1.1.9), (1.1.11) и (1.1.12) могут быть представлены в обобщенном виде:
. (1.1.14)
Здесь 
− символ Кронекера, равный, как известно, 
При записи (1.1.14) учтено, что для цилиндрической системы S = 2 – 
, для сферической S = 3 − все 
, а для декартовой вместо S = 0 (все 
) формально положено S = 1.
Обобщенное нестационарное уравнение (1.1.14) является математической моделью процесса переноса независимо от его физического содержания. Для конкретизации процесса достаточно задать физический смысл входящих в уравнение коэффициентов, что однозначно определит и физическую природу функции u(xi,τ). В электрической интерпретации, например, соответствующие величины будут связаны с величинами проводимости, источника зарядов и потенциала [7]. В интересующем нас процессе теплопроводности коэффициенты kii являются главными значениями тензора анизотропной теплопроводности [2, 24], η = cpρ − объемная теплоемкость, w − объемная плотность мощности внутреннего источника (стока) тепла, а искомая скалярная величина u(ξi,τ) − температура 
.
