2015-08-21
1874
Основные теоретические сведения
1. Частной производной первого порядка функции двух переменных 
по аргументу 
называется предел
(1)
(приращение получает только один аргумент ).
Обозначение:
, 
.
Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной 
, полученной при фиксировании аргумента 
: 
.
Частной производной первого порядка функции двух переменных по аргументу 
называется предел
(2)
(приращение получает только один аргумент ).
Обозначение:
, 
.
Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной 
, полученной при фиксировании аргумента : 
.
2. Производная в данном направлении. Градиент функции.
Если направление l в плоскости 
характеризуется направляющими косинусами 
и функция 
дифференцируема, то производная по направлению l вычисляется по формуле
. (3)
Градиентом функции в точке 
называется вектор с началом в точке 
, имеющий своими координатами частные производные функции 
:
или
. (4)
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная 
в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное
. (5)
3. Экстремум функции двух переменных:
Пусть функция 
определена в некоторой области 
, точка 
.
Точка 
называется точкой максимума функции , если существует такая δ-окрестность точки , что для каждой точки 
, отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Аналогично определяется точка минимума функции.
Необходимые условия экстремума:
Если в точке 
дифференцируемая функция 
имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: 
, 
.
Достаточное условие экстремума:
Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция 
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.
Вычислим в точке 
значения
, 
, 
.
Обозначим 
.
Тогда:
1. Если 
, то функция в точке имеет экстремум: максимум,
если 
; минимум, если 
;
2. Если 
, то функция в точке экстремума не имеет.
В случае 
экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример 1. Вычислить 
, где область D – круг 
.
Решение.
Перейдем к полярным координатам:
.
Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис.1)
, 
.
Рис.1.
Поэтому имеем 
.
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке, абсцисса которой 
.
Решение:
Найдем ординату точки касания: 
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке 
Подставляя значения 
, 
и 
в уравнения касательной 
и нормали
, получаем:
, 
(касательная);
, 
(нормаль).
Пример 3. Найти частные производные и функции 
Решение: Считая функцию функцией только одной переменной 
, а переменную рассматривая как постоянную, находим
.
Аналогично, считая z функцией только , получаем
Пример 4. Дана функция 
. Найти: 1) градиент функции 
в точке 
; 2) производную функции в точке 
по направлению вектора 
, где 
.
Решение:
1) Найдем частные производные функции:
2) 
; 
и их значения в точке :
, 
.
Получаем
.
2) Найдем вектор и его направляющие косинусы:
= l = 
;
;
.
Получаем
.
Пример 5. Найти экстремум функций: 
.
Решение:
Находим стационарные точки:
;
.
Используем необходимое условие экстремума:
~ 
~ 
.
Стационарная точка: 
.
Применим достаточное условие экстремума:
; 
; 
.
– экстремум есть.
Т.к. 
– это локальный минимум.
– минимум функции.
Ответ: 
Пример 6. Найти экстремум функций: 
.
Решение:
Находим стационарные точки:
; 
.
~ 
~ 
.
Стационарная точка: 
.
Применим достаточное условие экстремума:
; 
; 
.
– экстремума нет.
Ответ: экстремума нет.
