Решение

Пусть - общий выпуск первой фирмы (т.е. продукция, которую она выпускает для самой себя, для других фирм и конечный продукт),

- соответственно общие выпуски 2-ой и 3-ей фирм.

Пусть

- соответственно конечные спросы на продукцию фирм.

Пусть

- количество единиц i -ой фирмы, необходимое для производства одной единицы продукции j -ой фирмы.

Тогда для производства х единиц i фирмы необходимо единицы j фирмы.

Следовательно, если приравнять чистый выпуск каждого i -ого продукта и конечный спрос на него , то образуется система трёх уравнений:

(1)

По нашим условиям

(40+30+40+190=300 - j общий объём выпуска первой фирмы в наших условиях, 40 единиц собственных подразделений необходимо для производства первой фирме),

,

(10+50+40+100)=200 - общий объём выпуска второй фирмы, 30 единиц первой фирмы необходимо для производства второй фирмы,

Величины являются характеристиками "технологии" производства, значения и (i =l,2,3) связаны соотношениями (1).

Поэтому, предполагая "технологию" производства неизменной, зная

- конечные спросы на продукцию фирм, нетрудно будет определить значения общих объёмов выпуска, необходимых для удовлетворения таких спросов. Для этого необходимо решить систему линейных уравнений (1).

Будем решать эту систему методом "обратной матрицы".

Если определить матрицу А (так называемая технологическая матрица) как

единичную матрицу E: ,

вектор-столбец : , :

то система (1) перепишется как

или .

Для нахождения определим обратную матрицу матрице , обозначим её как .

Это так называемая матрица полных затрат.

Тогда

Матрица имеет вид:

Обратную матрицу можно найти по правилу:

,

где - алгебраические дополнения элемента стоящего в i строке и j столбце матрицы , а - определитель той же матрицы.

Найдём все необходимые элементы:

,

,

,

Получаем

Таким образом, при указанных в условии объёмах конечного спроса общие объёмы выпусков трёх фирм будут составлять соответственно 220.1698, 275.7254,247.2753 единиц (с точностью до четвертого знака после запятой).

Пример. Для производства продукции двух типов необходимы комплектующие трёх модификаций: для выпуска одной единицы первого типа продукции - 10 единиц комплектующих первой модификации, 30 - второй и 10 - третьей, для второго типа продукции - 20 единиц комплектующих первой модификации, 10 - второй и 40 - третьей.

Для производства каждой единицы комплектующих необходимо: для выпуска одной единицы первого типа - 2 единицы первого ресурса, 3 - второго и 4 - третьего, второго типа - 3 единицы первого ресурса, 1 -второго и 4 - третьего, третьего типа - 1 единица первого ресурса, 2 - второго и 2 - третьего. Сколько единиц каждого ресурса необходимо для производства

а) 120 единиц продукции первого типа и 130 второго,

6)100 первого, 50 второго?