Представим некоторую опорную конструкцию в виде балки, на которой расположена машина (механизм) массой m, к которой прикладывается возмущающая сила (рис. 29).
Рис. 29. Расчетная схема
При динамическом нагружении балки будут действовать силы:
– возмущающая сила;
– сила инерции системы;
– сила упругости балки.
Динамическое условие равновесия
. (220)
В свою очередь
, (221)
, (222)
где – приведенная масса механизма m и балки в точке приложения .
Тогда
, (223)
или
, (224)
где – собственная частота колебаний системы.
Поведение системы зависит от характера изменения возмущающей силы. Рассмотрим случай, когда источником возмущающей силы является центробежная сила PЦ от неуравновешенной массы механизма (муфта, несимметричная деталь и т.п.). Схема этого случая проиллюстрирована рис. 30 и 31.
Согласно рис. 30 и 31, деформацию y при колебаниях балки будет определять вертикальная составляющая возмущающей силы .
Тогда
, (225)
где – смещенная масса;
r – радиус вращения смещенной массы .
|
|
С учетом этого уравнение (224) примет вид
. (226)
В результате решения уравнения (226) получим
. (227)
Анализ показывает, это второй член уравнения (227) в скобках учитывает вынужденные колебания системы с собственной частотой wС, которые при установившемся движении затухают и ими можно пренебречь.
Тогда
. (228)
Максимальная деформация при
. (229)
Поскольку , будем иметь
, (230)
или
. (231)
Анализ формулы (231) показывает, что при наступает явление резонанса, характеризующееся тенденцией . Однако изложенный выше вывод не учитывает сопротивлений в системе.
При учете сопротивлений (вязкое трение в металле, трение в соединениях и другие потери) динамическое уравнение будет включать еще силу сопротивления, которая, согласно Фойгту, прямо пропорциональна скорости движения
, (232)
где – коэффициент, пропорциональный собственной частоте колебаний системы.
. (233)
Для стальных конструкций k=0,02…0,08.
С учетом сопротивлений дифференциальное уравнение будет иметь вид
. (234)
В результате решения уравнения (234) получим
, (235)
где – фазовый угол (разность фаз), отражающий запаздывание перемещения по отношению к возмущающей силе.
. (236)
Максимальное перемещение (деформация) будет при :
, (237)
где коэффициент динамичности kд равен
. (238)
Для условия резонанса имеем
. (239)
Для стальных конструкций .