Вычисление смешанного произведения в координатах

ТЕОРЕМА 4.4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ (4.19)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО .

1 ШАГ. ВЫЧИСЛЯЕМ СНАЧАЛА ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПО ПРАВИЛУ (4.14)

2 ШАГ. УМНОЖАЯ ПОЛУЧЕННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СКАЛЯРНО НА ВЕКТОР , ПОЛУЧАЕМ

ЗДЕСЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ МИНОРЫ (СМ. ГЛАВА1 ФОРМУЛА (1.2)).

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

МОДУЛЬ ВЕЛИЧИНЫ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЁХ ВЕКТОРОВ РАВЕН ОБЪЁМУ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ПОСТРОЕННОГО НА ЭТИХ ВЕКТОРАХ КАК НА СТОРОНАХ.

(4.20)

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ, ПОСТРОЕННОЙ НА ВЕКТОРАХ КАК НА СТОРОНАХ, РАВЕН (4.21)

ЕСЛИ

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение скалярного произведения и правила его вычисления в координатах. От чего зависит знак скалярного произведения. Как определяется проекция вектора на направление с помощью скалярного произведения?

2. Какие задачи можно решать, используя скалярное произведение?

3. Дайте определение правой тройки векторов.

4. Сформулируйте определение векторного произведения и правила его вычисления в координатах. Какие задачи можно решать, используя векторное произведение?

5. Сформулируйте правила вычисления площадей параллелепипедов и треугольников

с помощью векторного произведения.

6. Сформулируйте определение смешанного произведения и правила его вычисления в координатах. Какие задачи можно решать, используя смешанное произведение?

7. Сформулируйте правило вычисление объёмов пирамид и параллелепипедов

с помощью смешанного произведения.