Эллипс и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. Эксцентриситет и директриса

Определение 3.5.2. Эллипсом называется множество всех точек на плоскости, сумма
расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная, равная 2a.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) − c называются
фокусами эллипса, Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его
эксцентриситетом
Определение 3.5.3. Фокальным радиусом называется расстояние от некоторой точки кривой до фокуса.
Фокальные радиусы эллипса r₁ и r₂ связаны соотношением
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами d₁ и
d₂, уравнения которых имеют вид . Отношение расстояния от любой точки эллипса
до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса ε.
Частным случаем уравнения эллипса при является уравнение окружности с центром в точке O(0,0) и радиусом a. Каноническое уравнение окружности с
центром в точке O′(a,b) и радиусом r имеет вид .
Другие канонические уравнения кривых эллиптического типа:
1. Уравнение задает точку O(0,0);
2. Уравнение задает мнимый эллипс;
3. Уравнение задает мнимую окружность.