2015-06-28
5258
1. Фокальное свойство: эллипс – это ГМТ (геометрическое место точек), сумма расстояний которых до фокусов постоянна и равна 
.
Доказательство:
Рассмотрим 
и 
. Покажем, что 
.
Найдём 
и 
. Тогда 
;
; 
; 
; 
. Разделим обе части равенства на 
, получим 
. ■
2. Директориальное свойства: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), отношение расстояний от которых до фокусов и до соответствующих директрис равно 
.
Доказательство:
Обозначим через 
расстояние от точки 
до директрисы 
. Покажем, что 
.
Пусть 
. Тогда 
; 
. Так как 
, то 
, 
;
; 
. ■
3. Оптическое свойство: эллипс – ГМТ (геометрическое место точек), касательные в которых образуют равные острые углы с фокальными радиусами 
и 
, т.е. 
.
Другими словами, лучи света, исходящие из одного фокуса 
эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус 
.
Касательная в любой точке 
эллипса образует с фокальными радиусами острые одинаковые углы. Это свойство называется оптическим, т.к. все лучи, выходящие из одного фокуса, после отражения оказывается в другом (так как угол падения равен углу отражения).
Доказательство:
1. Получим сначала уравнение касательной к эллипсу в любой точке эллипса. Из уравнения эллипса 
, т.е. 
, если 
, и 
, если 
. Тогда и в том и в другом случае 
, 
.
Таким образом, уравнение касательной к кривой 
в данном случае имеет вид 
. Умножив это уравнение на 
, раскрыв скобки и учтя, что 
–получим уравнение касательной к эллипсу.
2. Найдём уравнение 
от точки 
до касательной. Это расстояние 
, где 
.
.
Но из директориального свойства фокальный радиус 
. Таким образом, 
. Тогда 
.
Проделав аналогичные выкладки, получим, что 
, т.е. 
.
