Вращательное движение твердых тел

· Момент инерции материальной точки

где — масса точки; — расстояние от точки до оси вращения.

· Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела) представлены в таблице:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стер­жень длиной l	Ось перпендикулярна стер­жню и проходит через его середину
Прямой тонкий стер­жень длиной l	Ось перпендикулярна стер­жню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

· Теорема Штейнера

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии ; – масса тела.

Пример: Найти момент инерции шара относительно оси , находящейся на расстоянии от поверхности шара (рис.4).

Здесь

; .

Следовательно,

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

где - момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где – масса тела; – скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела.

· Момент силы относительно неподвижной точки

где - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

,

где – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения), – угол между направлениями силы и радиуса-вектора. Направление момента силы совпадает с осью, относительно которой происходит вращение, и может быть определено по правилу буравчика.

· Работа при вращении тела

где – угол поворота тела; – момент силы относительно оси .

· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела (рис. 5) относительно оси вращения

где – расстояние от оси до отдельной частицы тела; – импульс этой частицы; – момент инерции тела относительно оси ; – его угловая скорость.

Рис.5

· Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где – угловое ускорение; – момент инерции тела относительно оси .

· Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел

Пример: Платформа в форме диска массой и радиусом вращается относительно вертикальной оси, проходящей через ось симметрии. На краю платформы стоит человек массой (рис. 6). Как изменится угловая скорость вращения, если человек перейдёт на расстояние ближе к оси (рис. 7) (человека считать материальной точкой)?

Рис. 6 Рис. 7

По закону сохранения момента импульса

,

где и - моменты инерции платформы с человеком, т.е.

; .

Получаем: