В предыдущем разделе построены условия Куна—Таккера для задач условной оптимизации. С помощью метода множителей Лагранжа получено интуитивное представление о том, что условия Куна — Танкера тесно связаны с необходимыми условиями оптимальности. В данном разделе рассматриваются строгие формулировки необходимых и достаточных условий оптимальности решения задачи нелинейного программирования.
Теорема 1. Необходимость условий Куна—Таккера
Рассмотрим задачу нелинейного программирования (0)-(2). Пусть - дифференцируемые функции, а х* — допустимое решение данной задачи. Положим . Далее пусть линейно независимы. Если х* — оптимальное решение задачи нелинейного программирования, то существует такая пара векторов , что является решением задачи Куна—Таккера (3)—(7).
Условие, согласно которому должны быть линейно независимыми, известно как условие линейной независимости и по существу представляет собой некоторое условие регулярности допустимой области, которое почти всегда выполняется для встречающихся на практике задач оптимизации. Однако вообще проверка выполнения условия линейной независимости весьма затруднительна, так как требуется, чтобы оптимальное решение задачи было известно заранее. Вместе с тем условие линейной независимости всегда выполняется для задач нелинейного программирования, обладающих следующими свойствами.
|
|
1. Все ограничения в виде равенств и неравенств содержат линейные функции.
2. Все ограничения в виде неравенств содержат вогнутые функции, все ограничения-равенства — линейные функции, а также существует, по крайней мере, одна допустимая точка х, которая расположена во внутренней части области, определяемой ограничениями-неравенствами. Другими словами, существует такая точка х, что
Если условие линейной независимости в точке оптимума не выполняется, то задача Куна—Таккера может не иметь решения.