Частинний розв’язок лінійного неоднорідного ДР зі сталими коефіцієнтами і спец. прав. частиною

Розглянемо лінійне неоднорідне ДР

L [y] ≡ y⁽ⁿ⁾+ P₁ (x) y^(n-1)+ P₂ (x) y^(n-2)+... + P n-1 (x)y’+P_n (x) y = f (x) (1)

та відповідне однорідне рівняння L [y] ≡ 0. (2)

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) завжди можна знайти, якщо відомо загальні рішення рівняння (2) і будь-яке частинне рішення рівняння (1).Теорема 1. Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі будь-якого його частинного рішення і загального рішення однорідного рівняння (2).

Теорема 2. Нехай права частина лінійного неоднорідного рівняння (2) є сумою двох доданків, тобто L [y] ≡ f₁ (x) + f₂ (x). (3)

Якщо y₁ – частинне рішення рівняння L [y] = f₁ (x), а y₂ - частинне рішення рівняння

L [y] = f₂ (x), то y₁ + y₂ єчастинне рішення рівняння (3).