Поняття про крайовiзадачi

В задачі Коші умови, за допомогою яких можна виділити певний частинне рішення ДР, задаються в одній (початк.) точці. Однак у багатьох прикладних задачах умови на невідому функцію та її похідні часто задаються в двох точках, наприклад, на кінцях відрізка, де шукається рішення задачі. Такі умови називають крайовими. Задача пошуку рішень ДР, яка задовольняє крайові умови, називають крайовою.

Надалі обмежимося розглядом крайових задач тільки для ДУ другого порядку. Для рівняння y”+ p (x) y’+ q (x) y = f (x), (1)

де p (x), q (x), f (x) – неперервні на відрізку [a, b] функції, крайові умовипозначимо таким чином: (2)

де α₁, α₂, β₁, β₂, y₀, y₁ - задані числа, причому α₁, β₁, а також

α₂, β₂ одночасно не дорівнює нулю. Якщо y0 = y1 = 0, тобто

тоді такі крайові умови називаються однорідними.

Рішенням крайової задачі (1), (2) називають функцію y (x), яка двічі безперервно диференційована на (a, b), неперервно диференційована на [a, b] і задовольняє рівнянню (1) на (a, b) і крайові умови (2).

Щоб вирішити крайову задачу:

1. Знайти рішення y = C1φ1 (x) + C2φ2 (x) + Y (x),

2. Підставити в (1) С1 і С2.

Зауваження. Рішення крайової задачі може не існувати або не бути єдиним.