Система однорідних диф. рівнянь. Лінійний диференціальний оператор. Теорема (1-5)

Система диф. рівнянь називається лінійною, якщо вона лінійна відносно всіх невідомих функцій (лінійність відносно аргументна не обов’язкова). Має вигляд:

t - аргумент, x₁..x_n – невідомі функції

f₁(t)..f_n(t) – відомі функції

a₁₁(t)..a_nn(t) – відомі функції

Систему диф. рівнянь (1) можна подати у вигляді:

де X - ,

Розв’язком буде Х.

Якщо всі функції F дорівнюють 0 на деякому проміжку, то СДР (1) можна назвати лінійною однорідною на цьому проміжку. В протилежному випадку – лінійною неоднорідною.

Будемо вважати, о функції А неперервні на заданому проміжку. В цьому випадку виконуються умови про існування та розв'язок задачі Коші, тобто система не має особливих розв’язків.

Якщо ввести лінійний диф. оператор , то СДР може бути подана у вигляді L[X]=F (3).

А у випадку однорідної системи L[X]=0 (4).

Система вектор-функції називається лінійно-незалежною, на проміжку [a;b] якщо c₁x₁+…+c_nx_n=0 виконується в єдиному випадку c₁=c₂=…=c_n=0.

В протилежному випадку ця система лінійно залежна.

– визначник Вронського для системи x₁..x_n.

Теорема 1. Якщо Х є розв’язком СДР (2), то їх лінійна комбінація також є розв’язком цієї СДР.

Теорема 2. Якщо лінійна однорідна СДР (3) з дійсними функціями a_ii(x) має комплексний розв'язок

то U(x) та V(x) також будуть розв’язками даної СДР.

Теорема 3. Якщо система функцій розв'язку не є лінійно-незалежною на вказаному проміжку і ці функції мають похідні до (n-1)-го порядку включно, то визначник Вронського =0 на цьому проміжку.