Точное решение

Уравнение сохранения можно решить точно, если положить Г равным постоянной величине и учитывая F = const (ru=const). Если рассматривается область 0≤x≤L с граничными условиями при x = 0 Ф = Ф ₀ и при x = L Ф = Ф _L , то решение (5.1) можно представить в виде

или , (5.6)

где Р — сеточное число Пекле, определяемое следующим соотношением

.

Физический смысл Р – это отношение интенсивности конвекции к диффузии.

Смысл точного решения (5.6) будет более понятен, если рассмотреть рис. 5.3, на котором изображена зависимость Ф от x для различных чисел Пекле. В пределе при P=0 получаем задачу чистой диффузии (или теплопроводности), причем зависимость Ф от x является линейной. Когда поток направлен вдоль положительной оси x (т.е. для положительных значений Р), на значения Ф в рассматриваемой области, по-видимому, оказывает большее влияние ее значение вниз по потоку Ф₀. Для большого положительного значения Р значение Ф остается очень близким к значению Ф₀ вниз по потоку в большей части рассматриваемой области.

Рис. 5.3 Точное решение для совместной задачи конвекции и диффузии (одномерные задачи) при различных значениях числа P

Для отрицательных значений Р наблюдается обратная картина. Для больших отрицательных P значение Ф в большей части области практически равно Ф _L.

Для построения дискретного аналога рассмотрим рис. 5.3, обратив внимание на соответствующий профиль Ф от x между сеточными узлами.

1. Легко видеть, что предварительный анализ не дал результатов. Распределение Ф от x носит нелинейный характер, за исключением малых | P |.

2. Когда | P | велико, значение Ф при x=L/2 (грань контрольного объема) приблизительно равно значению Ф на границе вверх по потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме против потока, но здесь оно используется для всех значений | P |, а не только для больших.

3. Когда | P | принимает большие значения, производная d Ф /dx при x=L/2 близка к нулю. Таким образом, диффузия практически отсутствует. В схеме с аппроксимацией против потока диффузионный член рассчитывается, исходя из линейного профиля Ф от x, т.е. предполагается несколько больший вклад диффузии при больших значениях | P |.

Если дискретный аналог получен непосредственно из точного решения, показанного на рис. 5.3, результирующая схема не должна иметь каких-либо дефектов.