Общая формулировка дискретного аналога

Чтобы получить дальнейшее представление об аппроксимации задач конвекции и диффузии и построить общие рамки, в которые можно было бы вписать различные схемы, рассмотренные до сих пор, необходимо исследовать некоторые общие свойства использованных коэффициентов.

Введем понятие суммарного потока J, который складывается из конвективного потока ru Ф и диффузионного потока -Г (д Ф /дx). Таким образом

. (5.7)

Рис. 5.4 Суммарный поток J между двумя узловыми точками

Рассмотрим узловые точки i и i+1, разделенные расстоянием d, как показано на рис. 5.4. Запишем суммарный поток J, проходящий через грань контрольного объема, расположенную между этими узловыми точками. Используя уравнение (5.7), получаем

, (5.8)

где P= rud/ Г - число Пекле. Значение Ф на грани КО представим как некоторое взвешенное среднее Ф _i и Ф _i+1, хотя градиент d Ф /d(x/d) умножается на Ф _i+1 ‑ Ф _i. Далее предположим, что

,

где a и b - безразмерные множители, зависящие от Р. Аналогичным образом J^* можно представить в виде

, (5.9)

где А и В - безразмерные коэффициенты, которые являются функциями числа Р (коэффициент А содержит величины в точке i+l, расположенной перед гранью КО, В - в точке i за гранью КО, что соответствует выбранному направлению координаты).

Свойства А и В. Два свойства коэффициентов A и B необходимо знать при изучении их зависимости от числа Р. Если Ф _i. =Ф _i+1, то диффузионный поток равен нулю. В этом случае J будет определяться только конвективным потоком ru Ф, а безразмерный тепловой поток

Комбинируя приведенные выше уравнения, получаем

B=A+P

Рис. 5.5 Зависимость A и B от P

Другим свойством A и B является их взаимная симметрия. Если изменить направление координатой оси на обратное, то P будет равно —P, а A и B поменяются своими ролями. Таким образом, функции A(P) и B(P) будут связаны соотношениями A(-P)=B(P) B(-P)=A(P) Графически эта связь показана на рис. 5.5

Таким образом, для всех значений P можно записать

A(P)=A( | P |) + [|- P, 0 |] B(P)=A( | P |) + [| P, 0 |] (5.10)

Рассмотрим теперь соотношение (5.9) для потока на гранях КО e и w и используем (5.10). Тогда получим общую форму дискретного аналога для задач конвекции и диффузии:

, (5.11)

где , , .

Перечисленные выше схемы теперь можно получать просто различным выбором функции A( | P |). Соответствующие выражения для A( | P |) приведены в таблице 5.1 и графически показаны на рис. 5.6. Степень соответствия каждой функции определяется путем непосредственного сравнения с точным распределением.

Таблица 5.1

Схема	Зависимость A( | P |)	Рис. 5.6 Зависимость A( | P |) для различных схем (см. таблицу 5.1)
1. С разностями против потока
2. Со степенным законом	[0, (1-0,1| P |)5]
3. Экспоненциальная (точная)	| P |/[exp(| P |)-1]
4. Комбинированная	[0, 5-0,5| P |]
5. Центрально-разностная	1-0,5| P |