Комбінаторні сполуки

2.1. На площині дано n точок, з яких t точок лежать на одній прямій; з решти точок ніякі три не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці точки? Скільки існує різних трикутників з вершинами в цих точках?

2.2. Скільки сигналів можна подати п'ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх в будь-якій кількості і в довільному порядку?

2.3. Для відвідин театру куплено 2 n квитків в один ряд партеру. Скількома способами можна розподілити ці квитки між n чоловіками і n жінками так, щоб два чоловіки або дві жінки не сиділи поряд.

2.4. Скільки можна утворити різних тризначних додатних цілих чисел в десятковій системі числення?

2.5. У суб'єкта А 5 червоних і 7 білих фішок, а у В – 7 червоних і 5 білих. А і B викладають по 6 фішок. Скількома способами можна у викладених 12 фішках отримати по 6 червоних і білих?

2.6. Є 5 різнокольорових фішок, які викидаються по 3 в ряд. Скільки існує різних комбінацій з трьох послідовно викладених фішок? Скільки буде комбінацій, якщо одна з фішок має вже певний (один з п'яти) колір?

2.7. Скількома способами можна розподілити уроки в шести класах між трьома вчителями, якщо кожен вчитель викладатиме в двох класах?

2.8. Скільки існує натуральних додатних чисел, які є квадратом, кубом або п’ятим степенем деякого натурального числа, і які менші 10000?

2.9. Довести, що кількість натуральних додатних чисел, які діляться на n і не перевищують x, дорівнює [x/n].

2.10. Знайти кількість натуральних чисел, які не перевищують 10000 і не діляться на жодне з чисел 2, 5, 7, але діляться на 11.

2.11. Нехай n = p₁^a1p₂^a2...p_r^ar – канонічний розклад натурального числа n (n ³ 2) на прості множники. Знайти кількість усіх дільників числа n, які не діляться на квадрат жодного натурального числа, відмінного від 1.

2.12. Скільки існує n‑значних натуральних чисел?

2.13. Скільки існує n‑значних натуральних чисел (n ³ 3), які діляться на 5 і в запису яких немає цифр 2, 4, 6 і 8?

2.14. Скільки існує n‑значних натуральних чисел (n ³ 3), у запису яких є рівно одна цифра 7 і хоча б одна цифра 8?

2.15. Скільки існує n‑значних натуральних чисел (n ³ 2), в запису яких є принаймні дві однакові цифри?

2.16. При перевертанні на 180° запису десяткових чисел цифри 0, 1 і 8 не змінюються, цифри 6 і 9 перетворюються одна в одну, а всі інші цифри втрачають смисл. Скільки існує n‑значних чисел, які при перевертанні на 180° не втрачають смислу?

2.17. Скільки існує двійкових матриць розміру n´m з попарно різними рядками?

2.18. Скільки існує двійкових векторів довжини n, k (k £ n) координат яких є фіксованими?

2.19. Скількома способами деканат може розподілити 75 студентів по трьох групах так, щоб у кожній групі було 25 студентів?

2.20. Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких жодні дві одиниці не стоять поруч?

2.21. Скільки існує послідовностей з n нулів і m одиниць, у яких між кожними двома одиницями є принаймні два нулі?

2.22. Скількома способами 12 однакових куль можна розкласти по п¢ятьох різних пакетах, щоб жоден пакет не був порожнім?

2.23. У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n‑кутника (n ³ 4), якщо жодні три не перетинаються в одній точці.

2.24. На клітчастому папері зі стороною клітинки 1 см намальовано коло радіуса r см (rÎN), що не проходить через вершини клітинок і не дотикається їх сторін. Скільки клітинок перетинає це коло?

2.25. На прямій розташовано n, n ³ 1, точок. Скількома способами їх можна розфарбувати в m, m ³ 2, кольорів так, щоб сусідні точки мали різний колір?