Вопрос № 29 Дайте определение центра параллельных сил и докажите формулы для определения его радиус-вектора и координат

Рассмотрим систему параллельных сил (F1, F2,...FN). Примем центр приведения за начало координат, причем ось Oz направим парал­лельно силам. При таком выборе системы координат, главный вектор R будет расположен на оси Oz, а главный момент Мо в плоскости хОу и, следовательно, перпендикулярен главному вектору R, т.е. второй инвариант системы параллельных сил всегда равен нулю. (рис. 1.43, а).

Следовательно, пространственную систему параллельных сил можно привести к равнодействующей силе, паре сил, или она будет находиться в равновесии. Предположим теперь,

что. В этом случае система параллельных сил всегда приводится к равнодействующей.

Рассмотрим сначала систему двух не равных по модулю парал­лельных сил F1 и F2. Сложив эти силы, найдем, что их равнодействую­щая R1.2 проходит через точку С1 которая делит отрезок А1А2, соеди­няющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорцио­нальные силам

(1)

Из этого равенства видно, что положение точки С1 на отрезке А1А2 не зависит от направления данных сил в пространстве. Эта точка называется центром параллельных сил F1 и F2 (рис. 1.43, б). Равнодействующую системы N параллельных сил (F1, F2... FN) можно найти так: сначала складываем две силы, например, F1 и F2, и на­ходим их равнодействующую R1.2. Складывал затем силы R1.2 и F3, полу­чим, что их равнодействующая R12З является одновременно равнодейст­вующей сил F1, F2, F3 и т.д. Точки приложения С1 С2..., равнодейст­вующих R1.2,R1.2,3 …, определяются с помощью равенств аналогичных (1).

Найденная таким образом точка С, приложения равнодейст­вующей произвольной системы параллельных сил с фиксированными течками приложения, не зависит от направления сил в пространстве. Ее положение не изменится, если одновременно повернуть силы на один и тот же угол. Можно также пропорционально изменить модули всех сил. Точка С, через которую проходит линия действия равнодейст­вующей системы параллельных сил, при любых поворотах этих сил око­ло фиксированных их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем теперь координаты центра системы параллельных сил (F1 F2,...FN) (рис. 1.44). Радиус-векторы точек приложения сил обо­значим через rk (k = 1, 2, 3.....N), а радиус-вектор центра параллельных сил С обозначим через rc. Выберем одно из возможных направлений па­раллельных сил за положительное. Единичный вектор этого направления обозначим е°, а проекции сил на направление вектора е° обозначим Fk. Тогда (2)

(3)

(4)По теореме Вариньона

Далее, используя предыдущие равенства (2) и (3), получим

(5)

или

(6) Так как по определению центра параллельных сил соотношение (6) удовлетворяется при любом направлении единичного вектора е°, то первый множитель в равенстве (6) должен быть равен нулю, т.е.

(7)

Откуда (8) Проецируя обе части этого равенства на оси координат, получа­ем формулы для координат центра системы параллельных сил:

(9)