XII. Кратные и криволинейные интегралы

1. Двойной интеграл, его определение. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла, его свойства. Изменение порядка интегрирования.

2. Замена переменной в двойном интеграле. Якобиан. Двойной интеграл в полярных координатах.

3. Приложения двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах.

4. Вычисление объемов тел, статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоских фигур.

5. Тройной интеграл. Его определение. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Механический смысл тройного интеграла.

6. Свойства тройных интегралов. Замена переменных в тройном интеграле. Общая формула замены переменных. Якобиан.

7. Цилиндрические и сферические координаты.

8. Приложения тройных интегралов к вычислению объемов тел, статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести пространственных тел.

9. Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода), их свойства и вычисление в декартовых, полярных координатах, в параметрической форме. Механический смысл криволинейного интеграла I рода.

10. Приложения криволинейных интегралов I рода, к вычислению длины дуги плоской кривой, статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоской дуги.

11. Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его механический смысл, свойства и вычисление в декартовых координатах, параметрической форме.

12. Приложения криволинейного интеграла II рода.

13. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегралы от полных дифференциалов.

14. Криволинейные интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.