2015-10-16
251
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
2. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Общее решение. Задача Коши. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными.
3. Однородные функции. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения, приводящиеся к однородным.
4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Решение их методом вариации произвольной постоянной и методом Бернулли.
5. Уравнение Бернулли.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка.
7. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка. Линейная независимость частных решений. Определитель Вронского.
8. Структура общего решения однородных дифференциальных уравнений. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формула общего решения в случае действительных корней характеристического уравнения.
|
|
|
9. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.
10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка. Теорема о структуре общего решения.
11. Решение неоднородных уравнений методом вариации произвольных постоянных.
12. Неоднородные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения в зависимости от корней характеристического уравнения. Структура общего решения.
XIV. Теория вероятностей с элементами математической статистики
1. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.
2. Предмет теории вероятностей. События, их классификация. Отношение между событиями. Алгебраические операции над событиями (сумма, произведение, разность).
3. Классическое определение вероятности. Комбинаторный метод вычисления вероятностей. Геометрическая вероятность.
4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
5. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Условная вероятность.
6. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
7. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
8. Формула полной вероятности.
9. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
10. Формула Бернулли.
11. Локальная теорема Лапласа.
12. Интегральная теорема Лапласа.
13. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.
14. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
|
|
|
15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
16. Математическое ожидание, его вероятностный смысл. Свойства математического ожидания.
17. Дисперсия дискретной случайной величины. Понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Определение дисперсии, формула для вычисления.
18. Свойства дисперсии.
19. Понятие о моментах распределения.
20. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева, ее сущность и значение. Теорема Бернулли.
21. Понятие интегральной функции, ее свойства и график.
22. Дифференциальная функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение интегральной функции по дифференциальной. Свойства дифференциальной функции, ее график. Вероятностный смысл дифференциальной функции.
23. Закон равномерного распределения вероятностей.
24. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия, их вычисление.
25. Нормальный закон распределения. Нормальная кривая. Правило трех сигм.
26. Статистические оценки параметров распределения. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Способы отбора.
27. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Полигон и гистограмма.
28. Приложение теории вероятностей к обработке результатов измерений. Доверительные интервалы.
