Тема 4.2. Численное дифференцирование

Нахождение производных функций в точке х по заданной таблично функции у=f(x) методом численного дифференцирования.

Методические указания по теме 4.2:

Метод численного дифференцирования:

При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f (x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f (x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.

Вычисление производной с помощью конечных разностей:

Пример 1. Постройте конечные разности для функции:

y=x³, x=1

Решение:

y=(x+1)³-x³=3x²+3x+1

=3x²

²y=3(x+1)²-3x²=3x²+6x+3-3x²=6x+3

=6x

³y=6(x+1)-6x=6x+6-6x=6

⁴y=0

Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона:

Пример 2. Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях:

Заполните 4 столбик с помощью формул:

= - ; = - ; = - ; = -

Заполните 5 столбик с помощью формул:

= - ; = - ; = -

Заполните 6 столбик с помощью формул:

= - ; = -

Заполните 7 столбик с помощью формулы:

Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа:

Пример 3. Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки:

(1,2), (2,3), (3,4), (4,5).

Обратите внимание:

Убирая одну координату x в числителе, вы учитываете ее в знаменателе, а дробь умножаете на y стоящий в одной скобке с этим x (выделено для первой дроби жирным шрифтом).

Сделав алгебраические преобразования, вы получите многочлен Лагранжа.

Вопросы для самопроверки по теме 4.2:

1.Пречислите методы численного дифференцирования.

2.Напишите формулы производных основных элементарных функций.

Задания для самостоятельного решения по теме 4.2:

1.Постройте конечные разности для функции y = x⁴ при =3.