Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методические указания по теме 4.3:

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений:

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных) первого порядка с начальными данными (задача Коши) - классическая область применения численных методов. Используется метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х. Поэтому чаще используют более точные методы, такие как: исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Решить дифференциальное уравнение у^/=f (x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i) (i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Пример 1.Найти решение уравнения y^/=f (x, y) с начальным условием x=x₀, y(x₀)=y₀ на отрезке [а, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

Если правая часть уравнения в некотором прямоугольнике R {|x-x₀|a, |y-y₀|b} удовлетворяет условиям:

|f (x, y₁) - f (x, y₂)| N|y₁-y₂| (N=const), |df/dx|=|df/dx+f (df/dy)| M (M=const), то имеет место следующая оценка погрешности: |y(x_n) - y_n| hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], где у(х_n) - значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n - приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой |y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|.

В исправленном методе Эйлера находят средний тангенс наклона касательной для двух точек: x_m, y_m и x_m+h, y_m+hy'_m. Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1, y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1, y_m+1 можно проследить по рисунку 2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h, y_m+hy'_m, лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂. Усреднение двух тангенсов дает прямую L'₃. Наконец, через точку x_m, y_m мы проводим прямую L₃ параллельную L'₃. Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из x= x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой y= y_m+1= y_m+hy'_m. Тангенс угла наклона L₃ равен:

F(x_m, y_m)=1/2 [f(x_m, y_m)+f(x_m+h, y_m+hy'_m)], где y_m = f(x_m, y_m)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде: y = y_m + (x - x_m)*F(x_m)

так что:

y_m+1 = y_m + h*F(x_m) (8)

Модифицированный метод Эйлера более точен. Рассмотрим дифференциальное уравнение у^/=f (x, y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке [x₀, x₀+h] интегральную кривую заменим прямой линией. Получаем точку М_к(х_к, у_к). Через М_к проводим касательную: y=y_к=f(x_k, y_k) (x-x_k). Делим отрезок (x_к, x_к1) пополам: x_h+k^/=x_k+h/2=x_k+1/2 ,

y_h+k^/=y_k+f(x_k, y_k) h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=б_k (11)

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом б_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой x_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:y_к+1=y_к+б_кh, x_k+1=x_k+h,б_k=f(x_k+h/2, x_k+f(x_k, y_k) h/2),

y_k=y_k-1+f(x_k-1, y_k-1) h.

Эти формулы называются рекуррентными формулами метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции y_к+1/2 в точках x_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют y_к+1.

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Основные правила дифференцирования:

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

17) (lnïxï)¢= ,

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

«Табличные» интегралы:

Интеграл	Значение
		-ln½cosx½+C
		ln½sinx½+ C
		ln
		ex + C
		sinx + C
		-cosx + C
		tgx + C
		-ctgx + C
		arcsin + C

Вопросы для самопроверки по теме 4.3:

1.Сформулируйте метод Эйлера.

2.Напишите формулы «табличных» интегралов.

3.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

Задания для самостоятельного решения по теме 4.3:

1.Вычислите интеграл:

2.Решите уравнение:
.