Основные формулы

· Уравнение гармонических колебаний

X = Acos(ωt+φ), (11.1)

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t – время; A, ω, φ – соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (ω t+φ) – фаза колебаний в момент t.

· Угловая частота колебаний

ω =2pn, или ω=2p/Τ, (11.2)

где n и Τ – частота и период колебаний.

· Скорость точки, совершающей гармонические колебания

υ = dх / dt = - А ω sin (ωt + φ). (11.3)

· Ускорение при гармонических колебаниях

a = d²x / dt² = - А ω² cos (ωt + φ). (11.4)

· Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

A² = A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ cos (φ₂ – φ₁), (11.5)

где А₁ и А₂ – амплитуды составляющих колебаний; φ₂ и φ₁ – их начальные фазы.

· Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

tgφ = (А₁sin φ₁+A₂ sin φ₂) / (А₁cos φ₁+ A₂ cos φ₂). (11.6)

· Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами n₁ и n₂,

n = n₁ - n₂. (11.7)

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А₁ и А₂и начальными фазами φ₁ и φ₂:

. (11.8)

Если начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

, или , (11.9)

то есть точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз Δφ = φ₂ – φ₁= p/2, то уравнение принимает вид

, (11.10)

то есть точка движется по эллипсу.

· Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

или , (11.11)

где m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k = mω²).

· Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

(11.12)

· Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник)

, (11.13)

где m – масса тела; k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

· Период физического маятника

, (11.14)

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; a – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = J / (ma) – приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ≈ 3° ошибка в значении периода не превышает 1 %.

· Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити

, (11.15)

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

или , (11.16)