double arrow

Основные формулы


· Уравнение гармонических колебаний

X = Acos(ωt+φ), (11.1)

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t – время; A, ω, φ – соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (ωt+φ) – фаза колебаний в момент t.

· Угловая частота колебаний

ω =2pn, или ω=2p/Τ, (11.2)

где n и Τ – частота и период колебаний.

· Скорость точки, совершающей гармонические колебания

υ = dх / dt = - А ω sin (ωt + φ). (11.3)

· Ускорение при гармонических колебаниях

a = d2x / dt2 = - А ω2 cos (ωt + φ). (11.4)

· Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (φ2 – φ1), (11.5)

где А1 и А2 – амплитуды составляющих колебаний; φ2 и φ1 – их начальные фазы.

· Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

tgφ = (А1sin φ1+A2 sin φ2) / ( А1cos φ1+ A2 cos φ2). (11.6)

· Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами n1 и n2,

n = n1 - n2. (11.7)

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами φ1 и φ2:

. (11.8)

Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

, или , (11.9)

то есть точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз Δφ = φ2 – φ1 = p/2, то уравнение принимает вид

, (11.10)

то есть точка движется по эллипсу.

· Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

или , (11.11)

где m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k = mω2).

· Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

(11.12)

· Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник)

, (11.13)

где m – масса тела; k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

· Период физического маятника

, (11.14)

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; a – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = J / (ma) – приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ≈ 3° ошибка в значении периода не превышает 1 %.

· Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити

, (11.15)

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.




· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

или , (11.16)

где r – коэффициент сопротивления; δ – коэффициент затухания: δ=r/(2m); ω0 – собственная угловая частота колебаний

· Уравнение затухающих колебаний

X = А(t)cos(ωt+φ), (11.17)

где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – их угловая частота.

· Угловая частота затухающих колебаний

(11.18)

· Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

(11.19)

где А0 – амплитуда колебаний в момент .

· Логарифмический декремент колебаний

(11.20)

где и – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

· Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

или (11.21)

где – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 –ее амплитудное значение;

· Амплитуда вынужденных колебаний

(11.22)

· Резонансная частота и резонансная амплитуда

и (11.23)

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: