Примеры решения задач

Задача 1. Точка совершает колебания по закону , где А = 2 см (рис. 11.1) Определить начальную фазу φ, если см и . Построить векторную диаграмму для момента t = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t = 0 через начальную фазу: . Отсюда найдем начальную фазу:

. (11.24)

Подставим в это выражение заданные значения х (0) и А: ). Значению аргумента ) удовлетворяют два значения угла:

и . (11.25)

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлетворяет еще и условию

, найдем сначала

. (11.26) Подставив в это выражение значение t = 0 и поочередно значения начальных фаз

, найдем

. Так как всегда

, то условию

удовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза j = 5p/6. По найденному значению φ построим векторную диаграмму (рис. 11.1).

Задача 2. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические колебания с частотой n = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить: 1) скорость в момент времени, когда смещение 1,5 см; 2) максимальную силу F_max, действующую на точку; 3) полную энергию Е колеблющейся точки.

Решение.

1. Уравнение гармонического колебания имеет вид (11.1)

формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения (11.3):

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (11.1) и (11.3) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделив первое на А², второе – на и произведем сложение:

, или .

Затем найдем u, решив последнее уравнение

Выполнив вычисления по этой формуле, получим см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус – когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании, кроме уравнения (11.1), может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

F = ma, (11.27)

где а – ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

, или . (11.28)

Подставив выражение ускорения (11.28) в формулу (11.27), получим

. (11.29)

Отсюда максимальное значение силы

. (11.30)

Подставив в это уравнение значение величин p, v, m и A, найдем F_max = 1,49 мН.

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии T_max:

. (11.31)

Максимальную скорость определим из формулы (11.3), положив : . Подставив выражение скорости в формулу (11.31), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим

Е = 2·(3,14)²·5·10^-3·(0,5)²·(3·10^-2)² Дж = 22,1·10^-6 Дж,

Ответ: Е = 22,1 мкДж.

Задача 3. На концах тонкого стержня длиной

= 1 м и массой m₃ = 400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁= 200 г и m₂= 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 11.2.). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем. Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

, (11.32) где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; a – расстояние от центра масс маятника до оси. Момент инерции данного маятника равен сумме инерции шариков J₁ и J₂ и стержня J₃:

. (11.33) Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерций:

;

. Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси

. Подставив полученные выражения J₁, J₂и J₃ в формулу (11.3б), найдем общий момент инерции физического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

кгм².

Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

кг.

Расстояние a центра масс маятника от оси колебаний найдем исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние a равно координате центра масс маятника, т.е.

или

Подставив значения величин m₁, m₂, m, l и произведя вычисления, найдем a = 5,55 см.

Произведя расчеты по формуле (11.32), получим период колебаний физического маятника:

с = 11,2 с.

Задача 4. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:

, (11.34)

, (11.35)

где А ₁= 1 см; А ₂= 2 см; ω = pс^-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (11.34) и (11.35). Для этого воспользуемся формулой . В данном случае , поэтому

Так как, согласно формуле (11.34), , то уравнение траектории

. (11.36)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (11.34) и (11.35) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от –1 до +1 по оси Ох и от –2 до +2 по оси Оу. Для построения траектории найдем по уравнению (11.36) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

х, см	-1	-0,75	-0,5		-0,5	+1
у, см		±0,707	±1,0	±1,41	±1,73	±2,0

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (11.34) и (11.35) (рис. 11.3).

Рис. 11.3

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется положение с течением времени. В начальный момент t = 0 координаты точки равны: см и см. В последующий момент времени, например при t₁= 1 с, координаты точек изменятся и станут равными: см, . Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 11.3 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент t ₂= 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Задача 5. Гиря массой m = 0,6 кг, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k = 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний θ =0,01. Определите: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2) число полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.